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1、一阶常微分方程初等解法求解技巧摘 要:常微分方程是数学分析或基础数学的一个组成部分，在整个数学中占有重要地位。而微分方程的古典内容主要是求方程的解，用初等函数或初等函数的积分通过有限次运算求常微分方程的解，叫作初等积分法，初等积分法是在微分方程发展的早期产生的一种求解方法，虽然，这种求解方法有一定局限性，但是，初等积分法在微分方程的实际应用和理论研究中有重要的作用，至今不失其重要性。故本文主要通过讨论一阶微分的相关解法问题，讨论的类型有：变量可分离方程，齐次微分方程，积分因子；本文主要归纳了一阶微分方程的初等解法（初等积分法），并同时例举典型例题加以说明。Abstract: Ordinary
2、differential equation occupied an important position in the whole mathematics is a mathematical analysis or a part of basic math, And differential equation of the classical content mainly equation solution, using elementary function or elementary function of integral solution of ordinary differentia
3、l equations by using finite time operation, is called elementary integral method , Elementary integral method is developed in differential equation of the early days of a solution , Though, this method has certain limitations, however, elementary integral method in the practical application of the d
4、ifferential equation and the theoretical research has an important role in, it still does not lose its importance. Therefore, this article mainly through discuss the related solutions of first order differential,types discussed are: variable separable equations, Homogeneous differential equation, in
5、tegrating factor , This paper mainly summarizes the elementary first-order differential equation method (elementary integral method), and also cited examples to illustrate. 关键词：一阶常微分方程；变量变换；常数变易法；恰当微分方程；积分因子；函数法；零解的稳定性1 前 言1.1 选题的背景和意义微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时，对简单
6、的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学、以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展，如复变函数都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。微分方程的
7、理论逐步完善的时候，；利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多应用于社会科学的各个领域。常微分方程在很多学科领域内有着重要的作用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等等，这些问题都可以化为求微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。1、变量分离方程形如， （1.1）的方程，称为变量
8、分离方程，这里的分别是的连续函数.如果，我们将（1.1）改写成，这样变量就“分离”开来了。两边积分得到， （1.2）.例1：方程就可以用变量分离法求解方程.解： 变量分离，得到，两边积分，即得，因而，通解为 ，（为任意常数）.技巧：通常这类可分离变量方程比较直观，可以通过变量分离，通过对积分的熟悉性可以快速的查找到变量的积分，即可得到相应的通解.2、可化为变量分离方程的类型（1） 形如， （2.1）的方程，称为齐次微分方程，这里是的连续函数.作变量变换， （2.2）即，于是， （2.3）将（2.2）,(2.3)代入（2.1），则原方程变为，整理后，得到, (2.4)方程（2.4）是一个变量分离
9、方程，这就是所谓的可以化为变量分离的方程.例2 方程就是一个可以化为变量分离的方程.解：这是齐次微分方程，以及代入，则原方程变为。即.将上式分离变量，既有 ，两边积分，得到 ，（为任意常数）整理，得到 ，令，得到将代入上式，得到方程的通解为 .技巧：通常这类常微分方程比可直接分离的微分方程复杂一点，不能进行直接分离，但是可以进行适当的变换，这类方程中，往往有一个分式重复出现，所以可以把它当做一个整体，从而很容易就化成变量分离方程，因此可以进行求解.（2） 形如， （2.5）方程也可以经变量变换为变量分离方程，均为常数.我们分三种情况来讨论：（常数）情形，这时方程化为，有通解，其中为任意常数.技
10、巧：这类微分方程求解最为简单，实为把方程化为变量可分离方程进行进一步的求解.情形，令，这时有是变量分离方程.技巧：这类方程与上面2的解法相似，只不过这类方程是把一个多项式看成是一个整体，再把它化为变量可分离方程进行求解.情形，如果（2.5）中不全为零，方程右端分子、分母都是的一次多项式，因此， （2.6）代表oxy平面上两条相交的直线，设交点为（）.若令 ， （2.7）则（2.6）化为，从而（2.5）变为， （2.8）因此，求解上述变量分离方程，最后代回原变量即可得原方程（2.5）的解.如果方程（2.5）中，可不必求解（2.6），直接取变换即可. 上述解题的方法和步骤也适用于比方程（2.5）更
11、一般的方程类型.技巧：这类微分方程因为分式分子与分母的系数均不成比例，故需要对分子与分母进行简单变换，新设变量，通过新设变量，去掉分子与分母的常数项，化为上述的形式，进一步进行求解.例3 方程就可以用上述方法来求解.解：解方程组 得.令 代入原方程，则有，再令，即，则上式化为，两边积分，得，因此 ，记，并代回原变量，得，把代入上式 得整理，得 （为任意常数）.3、线性微分方程与常数变易法一阶线性微分方程， （3.1）其中在考虑的区间上是X的连续函数.若=0，变为， （3.2）（3.2）称为一阶齐次线性微分方程.若，称为一阶非齐次线性微分方程.（3.2）是变量分离方程它的解为， （3.3）这里的
12、为任意常数. 技巧：现在讨论非齐次线性微分方程（3.1）通解的求法 不难看出，（3.2）是（3.1）的特殊情形，可以设想（3.3）中将常数c变易为x的待定函数，令， （3.4）微分之，得到， （3.5）将（3.4），（3.5）代入（3.1），得到.即，积分后得到，这里的是任意常数.将上式代入（3.4），得到方程（3.1）的通解， （3.6） 这种将常数变易为待定函数的方法，我们统称为常数变易法.常数变易法实际上也是一种变量变换的方法，通过变换（3.4）可将方程（3.1）化为变量分离方程.若方程不能化为（3.1）形式，可将x看作y的函数，再看是否为（3.1）形式.例4 方程（n为常数）就可以用常
13、数变易法求解.解：将方程改写为 ， （3.11）首先，求齐次线性微分方程的通解从，得到齐次线性微分方程的通解.其次，应用常数变易法求非齐次线性微分方程的通解.为此，在上式中把c看成为x的待定函数c(x),即， （3.12）微分之，得到， （3,13）把（3,12），（3,13）代入（3.11），得到，积分之，求得因此，以所求的c(x)代入（3.12），即得原方程的通解.，（为任意常数）.4.恰当微分方程与积分因子4.1 恰当微分方程 如果方程，的左端恰好是某个二元函数的全微分，即则称原式为恰当微分方程.容易验证恰当微分方程的通解就是，这里的为任意常数.如果方程是恰当微分方程时，函数应该具有以下性质：分别对求偏导，得到，由，的连续性，可得，故，这就是恰当微分方程的必要条件.如果是恰当微分方程我们可以利用“分项组合”的办法来求解.利用公式
