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1、1高考数学压轴题中的几种特殊函数数学与应用数学（金融数学） 2009189934 黄霜 指导老师：黄汉那摘要：随着课程改革的不断深入，素质教育的全面实施，近几年来高考数学命题创造性地把数学教育的新思想，新观点融合其中，相继出现了立意新、情境新、构思精妙的特殊函数，常常处于压轴题的位置。为高三的教师和学生复习备战高考提供帮助，这篇论文结合近几年的高考数学试题，分类列举了高考中出现的几类特殊函数，如：补函数、耐克函数、伪二次函数、单峰函数、特征函数，并对这些特殊函数的概念及相关题型做出了适当的分析，挖掘出特殊函数在高考压轴题中的题型规律并给出相应的解决方法。关键词：高考数学；压轴题；特殊函数引言随
2、着课程改革的不断深入，素质教育的全面实施，能力立意仍然是各省市高考试题强调的核心理念，同时，高考数学压轴题的命题视角呈多元化的趋势，命题者往往会结合能力、素质、应用以及创新等几个方面综合考查进行设计。因此高考中出现很多具有立意鲜明、构思精妙、情景新颖、表达方式鲜活的特殊函数，它不拘泥于课本材料，注重考查学生的阅读能力、理解能力、提炼数学问题和信息的迁移能力。为了适应新课程标准不同层次的要求，每年高考结束之后，每个省市的研究人员都会针对当年本省的数学试题进行详细的探讨，如分析试题的难度及分值、题型规律等。而这篇论文全局分析研读高考数学试题中的函数创新题，挖掘出隐含其中的函数题型规律以及给出相应的
3、解题方法，并在文后指出了一些复习备考建议。这对提高高考备考效率具有非常积极的指导作用，值得广大中学教师和参加高考的学生仔细研读和深入思考。1.试题创新特点及函数命题趋势1.1 高考数学压轴题的命题趋势为了顺应新课程改革的实施，高考试题的命题趋向也在不断的发生变化，2新课程改革的程理念必将体现在高考的试题中。数学高考题强调“能力立意”和必要的区分度，以利于高校对人才的选拔。因此各省市的压轴题综合题、灵活性、探索性都很强，具有挑战性和思考性。近几年，在高考压轴题的设计上更注重对考生知识的灵活运用能力、信息的分析处理能力、创新意识和应用意识的考查，因此所设计的压轴题既不受课本教材的约束，又不超越教学
4、大纲，所设计的题目具有新颖的情景、巧妙的构思、富有时代气息而且又切合实际，这些压轴题主要有一下特点：1.1.1 立意的鲜明性高考数学试题以能力立意为核心理念，以数学思想、数学基础知识、基本方法为指导思想，它体现了新课程理念的基本要求，试题的立意呈多元化的趋势，如考查学生的抽象思维能力、在新情境下知识的迁移能力、提炼信息的能力、创新意识和应用意识等。而以特殊函数为背景的试题是近几年高考试题中出现的一类创新型函数题。特殊函数的出现更符合我们现阶段中学实施素质教育的需要和实际，具有高考数学“鲜明的立意、灵活的设问、新颖的情景、清晰的层次”的特点。这有利于高校选拔对人才的选拔。1.1.2 背景的深刻性
5、以高等数学的基本概念、基本思想、基本方法渗透到高考压轴题中，为高考压轴题提供了深刻的背景，命题专家构思十分巧妙，使得这类题目给人有一种常考常新的感觉。而高中的竞赛数学是处在初等数学与高等数学的中间位置，以竞赛数学为背景来命制压轴题，成为高考数学压轴题的一个新趋向，为各个高校选拔优秀人才提供了良好的素材。这类题目在课本练习、各种复习资料或模拟题中难以找到，解题思路独特、解决方法新颖，从而使得这类题目有很好的区分度，因此，背景新颖的压轴题十分受到命题者的青睐。1.1.3 情景的新颖性情景新颖的压轴题，一般包括新的概念、新的定理、新的方法、新的公式、新的规则等，这类题目可以考查学生在新情景下知识的灵
6、活运用能力和理解新3知识的能力。这些题目构思精妙、立意新、解题方法新，靠题海战术和解题套路一般难以解决，对广大考生来说是十分公平的。近几年来，高考命题对这类题目比较热衷。1.2 高考函数的命题趋势函数作为高中数学最广泛的知识点，它易于其他知识点相结合，是贯穿高中数学的一条主线，是连接初等数学和高等数学的纽带，最能体现学生的能力和水平。随着数学试题的不断创新，函数问题的创新题型必定会成为高考数学命题的重点和热点内容。以对函数概念的深化理解与函数的基本性质及图象做为命题的核心，这是对函数考查的一个基本特点。随着新课程理念的全面实施和数学试题的不断创新，高考函数的命题趋势有以下特点：（1） 注重各个
7、知识点间的交汇函数的广泛性使函数与其他知识点的内在联系非常的紧密，新课改强调能力立意的命题理念决定了函数与其他知识进行交汇仍然是一个热点。新教材引入了向量、概率、统计、数列、极限等内容，扩大了函数问题的命题空间，因此在高考中出现了很多新的交汇题型，例如：函数与向量、函数与解析几何、函数与概率等交汇题常常受到命题者的喜爱。预计在今后的高考中将会设计得更加灵活，更能体现与其他知识点间的紧密联系。（2） 高等数学知识为背景以高等数学为背景，通过给出新的概念，新的定理或设置新的情景，考查学生的创新意识、应用意识、阅读理解新知识的能力。高考是为了向高校输送人才，而高中数学与高等数学相互衔接，而且函数又是
8、高中数学的主干知识，所以函数与高等数学知识在高考中创新交汇就显得合乎情理了，这是高考命题的又一个新走向。（3） 抽象函数久热不冷抽象函数通常只给出了一些条件，例如：函数的值域或者定义域、函数的性质等，而没有给出具体的解析式。抽象函数的概念和性质都具有抽象性，所以理解和研究起来都比较困难，富有思考性和挑战性，它既是中学数学教学的重点和难点，又是今年来各地模拟题和高考的热点。抽象函数对培养学生观察、4联想、类比猜测、理性思维等探索能力, 增强用数学的意识, 有着十分重要的作用，在近几年的高考中占的比重越来越大。其中以特殊函数为背景的创新型函数题压轴题在高考数学试题频繁出现，旨在提高试题的区分度，在
9、试卷中充当把关的角色。2.高考数学压轴题中的几类特殊函数2.1 以函数的图像和性质为背景伪二次函数、耐克函数形如 的函数有人称为“伪二次函数” 。2()=(0,)fxabcInxa例题 1：（2011 广东文科）设 ，讨论函数 的单调k2()=1-(-)+Infxkkx性.解： 2=4(-)8(1-)=43-(1)k（1）当 时，即 ，即 时， ，所以 在00k13k=(-)0ak()fx上为增函数.(,+)（2） 即 或 时1若 时， ， 的图像如图 1，所以0=(-)0,-2(1)0abkc()fx在 上为增函数，在 上为减函数.()fx12,(,+)xx若 ， ， ， 的图像如图 2，k
10、时 (-1k1(0,)x12(,)x2(,+)x(0,)(0,)x2(,+)耐克函数的概念及性质：耐克函数是指形如： ，函数2121=+(0,)xy5在 处取得最小值，且该函数在 上单调递减，在12=x 12(0,x上单调递增.,+)例题 2（2006 年上海卷.理）已知函数 有如下性质：如果常数 ，那么=+ayx0a该函数在 上是减函数，在 上是增函数.(0,a,)（）如果函数 的值域为 ，求 的值；2=+(0)byx6,b（）研究函数 在定义域内的单调性，并说明理由；2c常 数解：（1）由所给函数 性质知，当 x 0 时， 时函数取最小)0(axy a值 .2a所以对于函数 所以 b =
11、,22, bbbxy时 取 最 小 值当 ,92,6blog29.（2）设 时为单调增函数， 时cttctxt 由 条 件 知 在则)0(,2 ct0为单调递减函数，而 t = x2 在（0，+）为单调增函数，在（ ，0）上为单调减函数，所以由复合函数单调性知在 均单调递增， 2220xcyxcxc时和解得 ,04cx和即 .,442 c、y 的 单 调 增 区 间 为当 均单调递减，解得xyxcxc时和 02 440cx和即函数 .,0442 cy 的 单 调 减 区 间 为小结：纵览历年高考试题，伪二次函数和耐克函数在试卷中频繁出现，主要考查它们的图像，单调性、最值等性质，以考查学生灵活运
12、用所学过的知识解决新问题的能力。 （1）了解了伪二次函数 的图像2()=(0,)fxabcInxa与系数 的关系，就可以快速地画出它的函数的图像，从而研究它的性质。abc、 、6形如： 的函数在高考试题中屡见不鲜，如 20082()=(0,)fxabcInxa年湖北卷第 21 题(理科)、2010 年辽宁卷第 21 题（理科） 、2011 年辽宁卷第 21题（理科） 、2011 年浙江第 21 题(文科)等，这些题目用伪二次函数的图像来解答让人眼前一亮。 （2）耐克函数在近几年高考中也经常出现，特别是它的单调性及其应用尤为广泛.如 2006 年安徽卷第 20 题。2.2 以高等数学的基本概念为
13、命题背景补函数、单峰函数例题 1：（2012 年江西理科）若函数 h(x)满足（1）h(0)=1，h(1)=0；（2）对任意 0,1a，有 h(h(a)=a；（3）在（0,1）上单调递减。则称 h(x)为补函数。已知函数1-()=)(-,0)+ pxh（1）判函数 h(x)是否为补函数，并证明你的结论；（2）略解：函数 是补函数.证明如下：()hx11-0-=()=0+pp） ， （ ） 对任意 ,1a有 11 1- (+)+ ()=()=+ pp ppaaha 令 ，有()gx、 -1-1-122()-(+)() =ppppxxxg 、因为 -1, 0,所以当 时， ，所以函数 上单调递p0
14、,()0g、 ()0,g在减，故函数 在 上单调递减。()hx,1因此函数 是补函数。例题 2：（2005 年北京理科）设7是定义在 上的函数，若存在 ，使得 在 上单调递增，()fx0,1(0,1)x()fx0,在 上单调递减，则称 为 上的单峰函数， 为峰点，包含峰点的, ()f,区间为含峰区间对任意的 上的单峰函数 ，下面研究缩短其含峰区间长度的方法0,1()fx（I）证明：对任意的 为含峰区间；1212122,0,=+nAnx 当 时，则 ；(+)nA， 1nAxx，9，22-122+12+-1=-=0nnnnxxx-1-2-1+2-12nnnxx因为 ，所以数列 单调递减，而数列 单
15、调递增。1=(,)Anx2-1nx小结：本题根据特征函数的不动点与数列单调性的界定来命题，是一道综合性很强的压轴题。这类题目可以很好的将函数、数列、不等式融合在一起，数列是一种特殊的函数，而不等式是连接函数与数列的重要工具，将三者相结合的求证题所显示的代数推理是近几年来数学高考题的新的热点，经常在压轴的位置上出现，例如 09 年安徽高考第 21 题（理科卷） ，07 年四川高考卷第 21题（理科） ，06 年山东理科卷,05 年江西高考第 21 题（理科卷） ，05 年辽宁第19 题。3.结合几类特殊函数的命题规律给出几点复习建议3.1 掌握课本基础知识，深入理解掌握教材内容。教材包含丰富的基
16、础知识和丰富的数学思想方法，因此要深入理解并掌握教材的相关知识点。其中函数、导数、空间向量、概率、解析几何等内容是高中数学的核心知识点，只有熟悉并记住相关的知识，才能融会贯通、综合运用。对于教材中的函数部分，要理解并记住函数的概念、基本性质和图象，许多创新型函数题都能在课本上找到它的生长点，因此在复习函数时可以精选一些有创新的题目作为范例。3.2 应加强知识转化能力的训练，并提高数学应用意识。导数、方程、不等式、数列、概率等知识都与函数联系紧密，因此在复习时要注重知识点间的内在联系，重点提升知识的转化能力和自学能力，具有很强学习能力的学生，之所以不会害怕新情景下的新问题，因为他们具备了快速分析并解
