极限计算中常见错误剖析

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1、毕毕业业( (设设计计) )论论文文 题 目 极限计算中常见错误剖析极限计算中常见错误剖析 学生姓名 专业班级 R 计算 092 班 所在院系 理 学 院 指导教师 职 称 教授 所在单位 理 学 院 教研室主任 完成日期 2014 年 6 月 10 日 摘摘 要要 极限的计算是微积分的基本运算，也是学习后继知识的基本工具，掌握好极限计 算是学好微分课程的基础。实际上，运算能力是运算技巧与逻辑思维的结合，计算过 程是运用所学知识解决问题的过程。在计算的过程中不只是注意计算结果的准确性， 更看重的计算方法的合理性。在学习了有关极限的基本概念，基本法则（原则） ，基本 题型方法的基础上进行极限计算

2、，重要的是极限类型的判断和解题方法的确定，而运 算技能主要涉及初等代数运算（如因式分解，有理化，幂的运算.）和导数运算。学 生在做极限运算时,由于对极限的基本概念、基本原理理解的不够清晰、准确,基本技 能和方法掌握的不够熟练,运算中不可避免地会出现这样或那样的错误,如:审题错误, 运算错误,论证错误,方法错误,表述不规范和解题步骤不完备等。因此本文针对学生出 现的普遍错误进行归纳、整理,辨明错误的类型,分析出错原因,指导学生走出误区,使 学生对知识的理解、掌握达到一个较高层次。 关键字关键字： 极限 极限的算法 极限算法中常见错误 ABSTRACT Limit is calculated ba

3、sic operations of calculus , but also to learn the basic tools successor knowledge is the basis for calculating the limit master courses to learn differential . In fact, the computing power is a combination of computational skills and logical thinking, the calculation process is to apply the knowled

4、ge to solve problems in the process . Not just pay attention to the accuracy of the calculation results in the calculation process , the reasonableness of the calculation method is more valued. In learning about the limits of the basic concepts , basic rules ( principles ) , based on the basic quest

5、ions and methods of calculating the limits on conduct , it is important to determine the limits of the type of judgment and problem-solving methods, and arithmetic skills, mainly related to elementary algebra ( such as factoring , there are physical and chemical, power computing . ) and derivative o

6、perations. Students do limit calculation , due to the basic concepts of limits , inadequate understanding of the basic principles of clear, accurate way to master basic skills and not enough skilled operators will inevitably arise in this or that error , such as: moderation error , operational error

7、s, argumentation errors, wrong way , expressed irregularities and problem-solving steps , such as incomplete . Therefore, students should be for the common errors that appear induction, consolidation , identify the type of error , error cause analysis , to guide students out of misunderstanding , so

8、 that students of knowledge to understand and master to reach a higher level . Key Words： Limit Limit algorithm algorithm common errors 大连交通大学 2014 届本科生毕业论文 目 录 一一 极限的概念及定义极限的概念及定义 1 1 二二 极限中常见的错误极限中常见的错误 3 3 2.1 运用两边夹法及其常见错误 3 2.2 四则运算法及其常见错误 5 2.3 变量替换及其常见错误 6 2.4 分段函数的极限及其常见错误 8 2.5 利用幂级数求极限及其常见错

9、误 9 2.6 利用泰勒公式求极限及其常见错误 .10 2.7 利用微分中值定理求极限及其常见错误 .11 2.8 定义求极限及其常见错误 .12 2.9 利用洛必达法则求极限及其常见错误 .13 谢谢 辞辞 1717 参考文献参考文献 1818 大连交通大学 2014 届本科生毕业论文 1 一 极限的概念及定义 各种类型的极限基本上可以统一表示为函数极限。根据自变量的目标Axf xx )(lim 0 x 值与函数的目标值的不同含义，以及它们相应邻域的意义，就可以得到不同 0 x)(xfA 形式极限的意义。例如，当的自变量只取正整数，为时，就是数列，)(xfxn 0 x n u 的极限；当的自

10、变量从点左方趋于（或右方趋于）)(xfunAun n lim)(xfx 0 x 0 x 0 x 时，就是函数的左极限（或右极限）)(xfAxfxf xx )(lim)0( 0 0 Axfxf xx )(lim)0( 0 0 ；当时，极限表示在时为无穷小；当为时，0A0)(lim 0 xf xx )(xf 0 xx A 表示在时为无穷大，它是极限不存在的一种形式。其 )(lim 0 xf xx )(xf 0 xx )(lim 0 xf xx 他各种形式所表示的极限也是容易理解的。 一般来说，极限的定义蕴涵着自变量落在点的充分小邻域内时，函Axf xx )(lim 0 x 0 x 数的值落在的充分

11、小邻域内。为此，各种邻域的概念及其表达式是至关重要的，)(xfA 它有利于理解极限的分析语言描述的精神实质。 函数在时的极限的分析定义是：对于任意给定的，总存)(xf 0 xx Axf xx )(lim 0 0 在，当时，恒有。极限的分析定义是：存0 0 0xx Axf)(Axf xx )(lim 0 在某个，对任意的，总存在点满足时，使。0 1 0x 0 0xx 11) ( Axf 由极限的定义知，因极限是研究自变量趋向于的过程中函数的变)(lim 0 xf xx x 0 x)(xf 化趋势，故极限是否存在以及存在时其极限值是多少，可以与函数在点)(lim 0 xf xx )(xf 处的函数

12、值以及距离较远的点的函数值无关，而只与点的邻域内函数有 0 x)( 0 xf 0 x 0 x 关。于是既使极限不存在，函数在点处也可以有定义；同样，即使极)(lim 0 xf xx )(xf 0 x 限存在，热函数在点也可以没有定义。)(lim 0 xf xx )(xf 0 x 利用分析语言已证得如下几个基本极限： ； ； ；1 sin lim 0 x x x ex x x 1 0 )1 (lim1, 0lim qxqx x ； ； ；1, 0lim qqn n 0, 1lim aa n n 1lim n n n 大连交通大学 2014 届本科生毕业论文 2 ； ； 。0 ! 1 lim n

13、n n 为常数a n an n , 0 ! lim 0 ! lim n n n n 关于极限的分析语言定义，有如下两个问题： 第一个问题是用分析语言直接证明某个极限。它是对任意给定的，Axf xx )(lim 0 0 由去确定与有关的，使得自变量与定点的距离， Axf)(0 x 0 x 0 xx 。此时的是相对给定的。为了确定，就需要设法从中分解 0 xx 0 xxAxf)( 出因子，让其余的因子是一个关于的有界量。既设法将不等式转 0 xxx Axf)( 化为不等式。从而由此找到。注意，这里的是与任意给定的)( 0 xx0)( 有关，而与无关的，故所找到的也是与有关，而与无关。0xx 对于用

14、分析语言证明极限的问题，只需要考虑到无穷大邻域的表达形式就Axf xx )(lim 0 明白现在应该考虑和两个不等式。这时，为了确定，就需要Xx Axf)(Xx 设法从中分解出因子，并转化为不等式 ，从而由此找到只与有Axf)( x 1 )(x 关而与无关的。这样找到的能使得对任意给定的，当时恒有xXxX 0Xx ，即。同理，可以用分析语言证明其他各种类型的极限。这 Axf)(Axf xx )(lim 0 一项工作要着重注意如下两点：首先，在证明过程中分析语言表达要准确。其次，因 为我们只关心与有关的（或）的存在，只要找到符合定义要求的（或）就XX 可以了，不一定要找最大的（或最小的） ，所以

15、在分析语言证明过程中，可00X 以适当放大绝对值，使放大后的式子小于，既能较方便地求得（或Axf)(0 ） 。0X 在证明过程中绝对值的适当放大，可以通过利用的特性来实现。例如，Axf)( 0 xx 当时，依照邻域的概念可以不妨假设；如果考虑，则可以不妨 0 xx 1 0 xxx 假设大于某个有限的给定正数。这是一种有条件放大技巧。x 第二个问题是：由已知某个极限存在，利用分析语言去证明另一个极限存在的命题。 根据极限的分析语言定义，由已知的便有：对任意给定的，当然对Axf xx )(lim 0 0 某一个特定的，总存在，当时，恒有。这里的0 0 0 0 00 0xx Axf)( 是已经找到的正数。然后利用这个，以及有关不等式去分析证明待证的有关极限 0 0 大连交通大学 2014 届本科生毕业论文 3 的命题，此时要找的不仅与有关，而且还与已经找到的有关。随着近代微积分 0 的发展，许多数学家都致力于相关问题的研究，尤其是泰勒，麦克劳林、费马等人作 出了具有代表性的工作。泰勒公式是 18 世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的 英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展