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1、 本本 科科 生生 毕毕 业业 论论 文文 基于 MATLAB 的不同曲线拟合方式的比较研究 院 系： 电子信息工程学系 专 业： 测控技术与仪器 班 级： 学 号： 指导教师： 职称（或学位）： 2011 年 5 月 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文（设计） ，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论 文（设计）不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对 本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确 方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学生签名： 年 月 日 指导声明 本人指导的 同学的毕业论文
2、（设计）题目大小、难 度适当，且符合该同学所学专业的培养目标的要求。本人在指导过 程中，通过网上文献搜索及文献比对等方式，对其毕业论文（设计） 内容进行了检查，未发现抄袭现象，特此声明。 指导教师签名： 年 月 日 目 录 1 引言.2 2 软件介绍.2 2.1 MATLAB 简介.2 2.2 MATLAB 曲线拟合工具箱简介.2 3 曲线拟合.4 3.1 曲线拟合理论4 3.2 最小二乘法拟合.4 4 基于 MATLAB 的曲线拟合 5 4.1 曲线拟合数据来源.5 4.2 指数函数曲线拟合.6 4.3 最小二乘法多项式曲线拟合.7 4.4 内插式曲线拟合.8 4.5 平滑样条曲线拟合.9
3、5 曲线拟合结果的比较.11 6 结论.12 致谢.13 参考文献.13 1 基于 MATLAB 的不同曲线拟合方式的比较研究 摘要：随着现代计算机技术的快速发展，计算机软件的应用范围越来越广泛。基于 MATLAB 软件曲线拟合的方法也越来越广泛地应用到工程分析和科学研究中。采用 MATLAB 曲线拟 合工具箱对数据集进行拟合处理，可以快速地在简单易用的环境中实现许多基本的曲线拟合。 文章对曲线拟合进行理论分析和数学描述，引入可视化高性能的工具软件 MATLAB 对曲线 进行最小二乘法拟合、指数函数拟合、内插式曲线拟合和平滑样条式曲线拟合。最后结合具 体问题和曲线拟合各个要素从中选择最优拟合方
4、式。 关键词：MATLAB; 曲线拟合; 最小二乘法; 曲线拟合工具箱 Abstract: With the rapid development of modern computer technology, the computer software is widely used. Based on the MATLAB software curve fitting method is also more and more widely applied to engineering analysis and scientific research. Using MATLAB toolbox o
5、f curf fitting to deal with data sets can quickly in easy-to-use environment to realize many basic curve fitting. In the paper curve fitting is theoretically analyzed and mathematical described, and adopts the MATLAB to the curve for the least square fitting,exponential function fitting, interpolant
6、 curve fitting, and smoothing spline curve fitting. Finally, the optimal way is to be selected from every elements of the curve fitting considering the specific problems of various factors. Keywords: MATLAB; curve fitting; least square method; curve fitting toolbox 2 1 引言 在应用领域中，经常面对大量的数据，我们总希望能找到一个
7、解析函数用它来描述这些点的变化 规律且可以用来预测，这就要用到曲线拟合1。曲线拟合的目的是找到一条光滑的曲线使它能够最佳 的拟合数据，但不要求该曲线一定要经过每一点。曲线拟合应用非常广泛，在计算科学领域中占有非 常重要地位。人们对某一未知领域的研究，为了探索其内在的规律，建立了相应的数学模型，而模型 中往往含有某些待定的参数，要确定这些参数，就要用到数据拟合2。可见曲线拟合方式的全面研究 对科学计算具有重大的现实意义。 MATLAB 作为一种用于数值计算和可视化图形的高级计算软件。它有着开放式可扩充体系结构， 又可以灵活修改、补充和扩展 MATLAB 能力3。MATLAB 提供了两种曲线拟合方
8、法：一种是采用函 数形式，使用编程对数据进行拟合，使用这种方法对拟合函数要有较好的了解；还有一种是用图形窗 口进行操作，具有简便、快速，可操作性强的优点4。 本文研究的内容是利用MATLAB对曲线进行最小二乘法拟合，指数函数拟合，内插式曲线拟合和 平滑样条式曲线拟合，相互比较得到最优的拟合方式。 2 软件介绍 2.1 MATLAB 简介 MATLAB 的名字是由 Matrix 和 Laboratory 两个词的前三个字母组成的5。MATLAB 作为一种科 学计算软件，它主要用于矩阵的运算及控制和信息处理领域分析及设计。以模块化的计算方法、丰富 的矩阵运算、可视化与智能化的人机互换功能、图形绘制
9、和数据处理函数，成为系统设计和仿真领域 中最受欢迎的软件系统。 MATLAB 是“矩阵实验室” （Matrix Laboratoy）的缩写，它是一种以矩阵运算为基础的交换式程 序语言，专门针对科学、工程计算机绘图的需求6。MATLAB 的主要特点是简洁和智能化，它适应科 技人员的思维方式和书写习惯，使编程和调试效率大大提高。它采用解释方式工作，输入程序马上得 出结果，人机交互性能好，因此深得科技人员的喜爱，尤其是它可以适应多种平台，随计算机软硬件 的更新及时的升级。MATLAB 语言在国外的大学，特别是用数值计算频繁的电子信息类学科中，它已 成为每个学生的工具了。据调查在工业部门和设计研究单位
10、，MATLAB 已被认为是高效研究和开发的 首选工具。学习掌握 MATLAB 软件，可以说在科学计算软件工具上与国际相接轨。 2.2 MATLAB 曲线拟合工具箱简介 采用 MATLAB 做曲线拟合可以内建函数或曲线拟合工具箱(Curve Fitting Toolbox)。这个工具箱 集成了用 MATLAB 建立的图形用户界面 GUIS 和 M 文件函数7。GUIS 界面是一个可视化的图形界面， 具有较强的图形拟合功能：用散点图来表示数据集；用残差和置信区间可视化地估计拟合结果的 好坏8；采用多种拟合方式对数据拟合。利用 GUIS 界面，可以快速地实现许多基本的曲线拟合。 访问曲线拟合工具箱之
11、前，输入一份供分析的数据；打开曲线拟合工具箱，请输入 cftool。该命 令可以打开 Curve Fitting Tool 窗口(见图 1)。然后选择 Data 按钮，打开 Data 窗口可以访问工作区中的 数据并从下拉表中选择变量 X、Y（见图 2） 。在 Data set name 位置指定一个数据集名称，否则 MATLAB 将默认一个数据集名称。这时关闭 Data 窗口。回到 Curve Fitting Tool 窗口，选择 Fitting 按 3 钮，打开的窗口中可以选择拟合方法。这时单击 New fit 按钮，并从 Type of fit 的下拉列表中选择一种 拟合方式。 可以试用多
12、种拟合方式，以找出最佳图形。以直线拟合为例，选择一种插值方式，使曲线进过所 有的数据点。曲线拟合结果如图 3 所示。 例：x=0:6; y=0 10 30 55 67 89 120; cftool 图 1 Curve Fitting Tool 窗口 4 图 2 Data 窗口 图 3 直线拟合 3 曲线拟合 3.1 曲线拟合理论 曲线拟合就是拟合测量数据的曲线。在寻找自变量和因变量关系的过程中，由于观察数据 n),0,1,(i),( ii yx来源于实验，往往不精确，因此不要求函数关系)(xfy 经过所有的观测点， 而是只要求在观测点上的误差),0,1,2,(i)(nxfy iii 按某种给定
13、的标准最小9。如果记 ),( 10n ，研究中就是要寻找使范数最小的函数关系式。这就是我们通常说的曲线逼近或 曲线拟合。拟合的标准通常随着范数的不同而不同，范数越大计算就越难，所以经常使用的拟合方式 是最小二乘拟合。 3.2 最小二乘法拟合 在工作中,通常情况是要找出两个量之间的关系。这时需要对两个量的多组对应数据采用经验公式 表示，因为经验公式形式较紧凑，便于从理论知识上进一步分析。 曲线拟合的最小二乘法可以描述为：根据已知的数据组n),1,2,(i),( ii yx，选一个近似函数 )(x，使得 n i ii n i i xy 1 2 1 2 )( 最小。这种近似函数的方法称为曲线拟合（C
14、urve Fitting）的最小二乘法，函数)(x称为这组数据的 5 最小二乘函数（Method of Least Squares）10。 用最小二乘法做曲线拟合首先要确定拟合模型)(xf，通常根据各科的知识来大致确定函数的所属 类，倘若不具备这些知识，则从问题的运动规律以及给定数据的散点图来确定拟合方式。 4 基于 MATLAB 的曲线拟合 4.1 曲线拟合数据来源 霍尔式传感器是由两个环形磁钢组成梯度磁场和位于梯度磁场中的霍尔元件组成11。当通过电流 恒定时，霍尔元件则在梯度磁场中上下移动，其输出的霍尔电势 V 值取决于其在磁场中位移量 X 值。 下面就通过霍尔式传感器的特性试验所获取的数
15、据集，来看一下曲线拟合工具箱在数据处理方面的应 用。相关数据如表 1。 表 1 采样点 XVXV 7.3709.87-0.36 7.87-0.0710.37-0.40 8.37-0.1510.87-0.44 8.87-0.2211.37-0.46 9.37-0.2911.87-0.48 打开 MATLAB 软件，在主窗口输入，如下： x=7.37:0.5:11.87; v=0 -0.07 -0.15 -0.22 -0.29 -0.36 -0.40 -0.44 -0.46 -0.48; cftool 按回车键打开曲线拟合工具箱，选取相应的变量可获得散点图如图 4。 图 4 变量可获得散点图 6
16、4.2 指数函数曲线拟合 在曲线拟合工具箱界面单机 fitting 按钮，在 Type of fit 选项框中选取拟合方式 Exponential(指数)， 指数拟合有两种函数)*exp(*xba和)*exp(*)*exp(*xdcxba。拟合效果图如图 5。 图 5 指数函数拟合 曲线 fit1 的指数拟合公式)*exp(*xba，曲线 fit2 的指数拟合公式)*exp(*)*exp(*xdcxba， 从图形上看，曲线 fit1 指数拟合曲线不适合本文的数据集，所以我们选取曲线 fit2 的指数拟合方式。 Fit2 指数曲线拟合并没有通过每一个数据点遗漏的数据点较多，只是近似的经过数据点。 拟合参数结果如下： General model Exp2: f(x) = a*exp(b*x) + c*exp(d*x) Coef
