《定积分的若干计算技巧》由会员分享，可在线阅读，更多相关《定积分的若干计算技巧（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、海 南 师 范 大 学本 科 生 毕 业 论 文 题目： 定积分的若干计算技巧 姓 名： 学 号： 200505101014 专 业：数学与应用数学 年 级： 2005级 院 别：数学与统计学院 完成日期： 2009年5月6日指导教师： II本科生毕业论文独创性声明本人声明所呈交的毕业论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，本论文中没有抄袭他人研究成果和伪造数据等行为 。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。论文作者签名： 刘碧琴 日期： 2009-5-4 本科生毕业论文使用授权声明海南师范大学有权保留并
2、向国家有关部门或机构送交毕业论文的复印件和磁盘，允许毕业论文被查阅和借阅。本人授权海南师范大学可以将本毕业论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复印手段保存、汇编毕业论文。论文作者签名： 刘碧琴 日期： 2009-5-4 指导教师签名： 王琪 日期： 2009-5-4 目录1. 引言12. 定积分的换元法的应用13. 利用对称性计算定积分44. 利用函数的周期性计算定积分65. 分段函数的定积分的计算76. 利用二重积分计算定积分8参考文献1010定积分的若干计算技巧 摘 要: 定积分是微积分问题中最基本又最重要的问题，它涉及许多实际问题的计算。本文就定积分的计算
3、问题作一些讨论。关键词: 定积分;计算;方法;技巧.Some Computation skills of Definite integralAuthor：Liu Biqin Tutor： Associate professor Wang Qi(School of Mathematics and statistics, Hainan normal university，Haikou, 571158)Abstract: Definite integral problems is the most basic and most important of calculus problems,which
4、 involves the calculation of many practical problems.In this paper,we will discuss this problem that definite integrals computation skills.Key words:definite integral; computation;method;skill.1. 引言定积分是积分学的一个基本问题，在理论研究和实际应用中，许多问题都可以归结为定积分的计算问题，因此 ，定积分的计算是很重要的。牛顿一莱布尼兹公式是计算定积分的一种有效工具 ，它使定积分的计算与不定积分联系起
5、来，在理论和实际计算中有很大作用。但这不等于说，定积分的计算只是求原函数运算与牛顿-莱布尼兹公式的简单组合，定积分计算有着其特殊的方法和技巧。本文主要从五个方面探讨简化定积分计算中所采用的技巧2. 定积分的换元法的应用2.1 当原函数不能用初等函数来表示时,利用定积分的换元积分法,往往可以使一些积分项相互抵消,最终求得这个定积分的值例1 计算I=.解法1:令 x=tan t,得 dx=sectdt .x=0时t=0; x=1时t=.于是I =+- （I）对于第二个积分,令- t=u做换元时,有:=所以I中的第二积分与第三个积分相互抵消,故得:I=.解法2：令x=得I=-第二个积分项与原式相同故
6、可以和原式合并,即2I=ln2=,因此I=.此时,我们并未求出的原函数却算出了其积分值,可见换元积分法的作用.2.2 根据被积函数与积分区间的特点恰当选取换元式例2 设f(x)是连续函数,证明:=.分析:若证明原式成立,使x+向t+转化只需令t=x则I=,显然,积分区间没有满足题目要求,如何使1,a中的t向1，a中的u转化?此时可利用定积分的区间可加性得=+再将向转化,只要令u=则=.证明:令t=x,则:I =+=I+I而令u=,有:I= I,于是I=2 I=.先让被积函数满足题目要求而定换元式,再由定积分区间的可加性,对a,a上的积分让被积函数与积分区间均满足题目要求而确定换元式.例3 计算
7、I=.解:由于1x2,则有01令=cost,则=sint, 0t0）的连续函数,a为常数,不难证明: (1)周期函数 f(x)在长度等于周期 T的任意闭区间上定积分的值相等,与区间端点的位置关. (2) (n为整数)(3) 正弦函数、余弦函数在周期区间上的积分等于零. (4)余弦函数在半周期区间上的积分等于零. 例8 求定积分I= (n为正整数).解:因为以为周期,所以I=.例9 计算I=. 解:因sin2x和tan x都是以为周期的周期函数,故sin2xtan x也是以为周期的周期函数,因而有:=+=0+=.5. 分段函数的定积分的计算分段函数定积分的几种类型:(1)f(x)分段给出,求.先
8、求函数f(x)在各分段区间上的积分,利用定积分关于区间的可加性,将各分段上的积分相加,即为所求的积分. (2)分段点xk求，此类积分的求法有二.其一,是先作变量代换 t=xk,将所求积分转化为求积分;其二,是先求f(x-k)的分段表示式,并求出其分段点,再按第一种方法求:.(3)求.计算带绝对值符号的被积函数的积分,设法去掉绝对值符号,将所求积分转化为分段函数的积分.去掉绝对值符号的方法有两种,第一种是令含绝对值部分的函数等于零,求出其实根,以其实根为分段点,将被积函数表示成分段函数,第二种方法是利用函数的奇偶性,周期性等性质.（4）求.计算被积函数f(x)含偶次方根的定积分时,开方一般需取绝
9、对值.然后按(3)中所述方法去掉绝对值符号. 对这类定积分须加小心.因从表面上看,被积函数既不是分段函数,又不是含绝对值的函数,容易被疏忽.实际上它是带绝对值的函数,绝对值符号是以平方根的形式出现的.例10 求I=.解： I =+=+=.6. 利用二重积分计算定积分重积分的计算化为定积分来计算,这是众所周知的事实,但反之,定积分的计算往往又可以化为重积分的计算,这也是一种常用方法.表面上看,化定积分为二重积分是将问题复杂化了,但是对于某些特殊结构的被积函数而言,却可以使定积分问题大大简化.当积分不易积出时,可以考虑将积分还原成二重积分,再交换二次积分的次序将其积出.例11 求.分析：这里要将定
10、积分化为二重积分,关键是将ln（1+x）用一个定积分表示出来.解:因为ln(1+x)=,所以=交换积分的次序得到:原式=+=.例12 求.解：因为=,所以=交换积分的次序得到:=ln2.例13 计算.解:因为=所以 =()()=,利用极坐标变换可得:=即=1.可见,对某些特殊定积分的情形,完全可以不使用一般性的解题方法,而是要对具体问题进行具体分析,如本文中所讨论的例子.只有充分掌握了解题技巧和解题方法,才能既减少计算量,提高效率,又开拓解题思路,提高定积分的计算能力.参考文献1毛纲源.经济数学（微积分）解题方法技巧归纳M .武汉：华中科技大学出版社，2001,(3):35-36.2吴赣昌.高等数学M .北京：中国人民大学出版社，2006,21-22.3刘书田.高等数学（第二版）M.北京：北京大学出版社，2004,(2):26-27.4钱昌本.高等数学解题过程的分析与研究M.北京：科学出版社，1994,33-34.5胡适耕.大学数学解题艺术M.长沙：湖南大学出版社，1997,31-32.6刘广云.数学分析选讲（第二版）M.哈尔滨：黑龙江出版社，2000,(3):36-38.7吴耀强.巧用二重积分求解定积分之例说 J.高等函数学报，2006，（5）：46-48.
