常微分方程初等解法及其求解技巧

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1、目目 录录 摘 要 .I 关键词 I Abstract .I Key words .I 1.前 言.1 2.常微分方程的求解方法 1 2.1 常微分方程变量可分离类型解法 .1 2.1.1 直接可分离变量的微分方程2 2.1.2 可化为变量分离方程2 2.2 常数变易法 .9 2.2.1 一阶线性非齐次微分方程的常数变易法9 2.2.2 一阶非线性微分方程的常数变易法.10 2.3 积分因子法 16 3.实例分析说明这几类方法间的联系及优劣.17 3.1 几个重要的变换技巧及实例 18 3.1.1 变为.18 dx dy dy dx 3.1.2 分项组合法组合原则.19 3.1.3 积分因子选

2、择.20 参考文献.21 致 谢.22 I 常微分方程初等解法及其求解技巧常微分方程初等解法及其求解技巧 摘 要 常微分方程是微积分学的重要组成部分，广泛用于具体问题的研究中.求解常微分 的问题，常常通过变量分离、两边积分，如果是高阶的则通过适当的变量代换，达到 降 阶的目的来解决问题.本文就是对不同类型的常微分方程的解法及其求解技巧的系统 总结：先介绍求解常微分方程的几种初等解法，如变量分离法，常数变易法，积分因 子法等，在学习过程中，通过对不同类型的方程求解，揭示常微分方程的求解规律.然 后介绍几类方程求解中的变换技巧及规律，并通过实例来分析这几类方法之间的联系 及优劣，从而能快速的找到最

3、佳解法. 关键词 变量分离法 常数变易法 积分因子 变换技巧 Elementary Solution and Solving Skills of Ordinary Differential Equation Abstract Ordinary differential equations are important components of calculus and used extensively for the studies on specific issues. Ordinary differential equations are often resolved by the mea

4、ns of variable separation and both sides integral. If they are higher-order ones, we can reduce their order by proper variable substitution to solve this problem. This essay aims at concluding systematically the methods of different types of differential equations and its resoling skills. First of a

5、ll, Id would like to introduce several basic resolutions of differential equations, such as variable separation, constant threats, points factor, etc. In the process of learning, Id like to reduce the law of resolving ordinary differential equations by resolving different types of equations. Then, w

6、e describe several equations resolutions and for transformation techniques and its laws, and we also analyze the advantages and disadvantages and connections by using the examples of these methods to be able to find the best solution quickly. Key words Variable separation; constant threats; points f

7、actor; transform techniques 1 1.前 言 数学发展的历史告诉我们，300 年来数学分析是数学的首要分支，而微分方程又是 数学分析的心脏，它还是高等分析里大部分思想和理论的根源.人所共知，常微分方程 从它产生的那天起, 就是研究自然界变化规律、研究人类社会结构、生态结构和工程 技术问题的强有力工具.它的发展历史也是跟整个科学发展史大致同步的. 现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装 置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性质的研究、化学反应稳定性的研究 等.这些问题都可以转化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题.常微分

8、方程具有广泛的社会实践性，无论是在各类学科领域上，还是在实际生产生活中，都 有举足轻重的作用它所涉及范围之广，致使前人对它做了很深入的研究应用常微 分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它现有的理论也还远远不能满足需要，还 有待进一步的发展，使这门学科的理论更加完善. 微分方程是表达自然规律的一种自然的数学语言.它从生产实践与科学技术中产 生，而又成为现代科学技术中分析问题与解决问题的一个强有力的工具.人们在探求物 质世界某些规律的过程中，一般很难完全依靠实验观测认识到该规律，反而是依照某 种规律存在的联系常常容易被我们捕捉到，而这种规律用数学语言表达出来，其结果 往往形成一个微分方程，而一旦

9、求出方程的解，其规律则一目了然.所以我们必须能够 求出它的解.常微分方程的初等解法,既是常微分方程理论中有自身特色的部分，也与 实际问题密切相关；恰当对初等解法进行归类，能正确而又敏捷地判断一个给定的方 程属于何种类型，从而能按照所介绍的方法进行分解. 总之，常微分方程属于数学分析或基础数学的一个组成部分，在整个数学大厦中 占据这重要位置，学好常微分方程基本理论与方法对进一步学习研究数学理论与实际 应用均非常重要，因此本文对常微分方程的初等解法进行了简要归纳和分析，主要讨 论变量分离方程，非恰当微分方程，线性微分方程，同时结合具体的实例，展示了初 等解法在解题过程中的应用及其求解过程中的变换技

10、巧和律. 2.常微分方程的求解方法 2.1 常微分方程变量可分离类型解法 定义 1 如果一阶微分方程具有形式，则该方程称为可分离变量微 )()(ygxf dx dy 分方程.若设，则可将方程化为.即将两个变量分离在等式两端. 0)(yg dxxf yg dy )( )( 其特点是：方程的一端只含有的函数与，另一端只含有的函数与.对于该 ydy xdx 类程，我们通常采用分离变量的方法来处理。 2 2.1.1 直接可分离变量的微分方程 1 形如 (2.1) )()(ygxf dx dy 的方程称为变量分离方程. )(),(ygxf 分别是的连续函数. , x y 例 2.1 求解的通解. 0 3

11、 2 y xe dy dx y 解 将变量分离得,两边积分得,因而通解为 dxedyye xy3 2 cee xy 6 1 3 1 2 1 3 2 （ 为任意常数）. cee xy 3 23 2 c 2.1.2 可化为变量分离方程 而有些方程虽然不是变量分离方程，但是可以通过适当的变量代换，转换为分离 变量方程. （变量代换的思想） 对于新方程应用分离变量的方法，求出通解后再带回原变量就可以得到其通解.如 何寻求恰当的变量代换将给定的方程化为分离变量方程，没有一般的方法，但是对于 一些特殊类型的方程，这种变量代换却有固定的形式.下面介绍几类这样的方程. 类型 1：齐次方程2 形如 (2.2)

12、x y g dx dy 的方程，称为齐次微分方程，这里是的连续函数,对方程(2.1)做变量变换 ug u (2.3) x y u 即，于是 uxy (2.4) u dx du x dx dy 将(2.3),(2.4)代入（2.2） ，则原方程变为 ， )(uu dx du 整理后，得到 (2.5) x uu dx du )( 3 方程(2.5)是一个变量分离方程.可按前面(2.1)的方法求解，然后代回原来的变量，便得 到(2.2)的解. 4 注 该类型还可以推广到形如. x y fxg x y dx dy 例 2.2 解方程. dx dy xy dx dy xy 22 解 原方程化为 且， 2

13、2) (y dx dy xxy xy 即 ， 1 x y x y dx dy 于是，令，即，将代入该方程，得，整理即有 x y u xuy dx du u dx dy 1 2 u u dx du xu ， 11 2 u u u u u dx du x 分离变量，得 ， x dx du u u 1 )0( u 两边积分得，将代回来，得， 1 lnlnlncxuu x y u )ln()ln( 11 yccx x y x y 所以 ( 为任意常数), x y cey c 另外，即也是原方程的解,但此解包含于通解之中. 0u 0y 0c 故方程的通解为 . y x yce 5 类型 2： 形如 (2

14、.6) cbyaxf y x dx dy 1 1 的方程也可以经变量变换化为变量分离方程，这里的均为常数. cba, 做变量变换 ， cbyaxu 这时有 ， ufxbxa dx dy ybxa dx du 1111 即 . dxx ufba du 1 是变量分离方程.而当时，为其特殊形式. 1 cbyaxf dx dy 例 2.3 求解方程. y x xy y x dx 3 dy 解 因为 ， y x xy y x dx 3 dy 可以化为 . 1 dy 22 yx y x dx 于是，令 (2.7) 1 22 yxu 则 , (2.8) xux dx dy yx dx du 2222 将(

15、2.8)代入(2.6)可以知道，这是一个分离变量方程. 即 , xdxdu u 22 1 两边同时积分，得 (2.9) 1 2 1lncxu 6 再将(2.9)代入(2.7)，得 . 1 222 2lncxyx 所以 , 1 2 2 22cx eyx 整理得 ，其中 C 为任意常数. 2 2 22x Ceyx 类型 3：形如 (2.10) 0dyxyxgdxxyyf 的方程同样可已经变量替换化为变量分离方程. 将(2.10)变形为 (2.11) xyxg xyyf dx dy 做变量替换 (2.12) xyu 这时有 (2.13) 2 x u dx du dx dy 将(2.11)和（2.12）代入(2.13)中，得 . dx x du uufuug ug1 由此，化为变量分离方程，两边积分并代回原来的变量，可求出方程的解. 类型 4：形如 (2.14) xyf dx dy x 2 的方程是变量分离方程. 做变量替换 , xyu 则