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1、9.3 点、线、圆的位置关系,高考数学,考点 直线与圆、圆与圆的位置关系 1.直线与圆的位置关系(d为圆心到直线的距离,r为圆的半径),知识清单,2.圆与圆的位置关系(O1、O2的半径分别为r1、r2,d=|O1O2|),3.直线被圆所截得的弦长为2 (r为半径,d为圆心到直线的距 离). 4.两圆的公共弦所在直线方程 O1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,O2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0. 若O1与O2相交,则两圆的公共弦所在直线方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+ (F1-F2)=0; 若O1与O2相外切,则(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0表示内
2、公切线; 若O1与O2的半径相等,则两圆的对称直线方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+ (F1-F2)=0. 5.圆的切线方程问题 (1)圆O的方程为x2+y2=r2(r0),点M(x0,y0),若点M在O上,则过M的切线,方程为 x0x+y0y=r2 ; 若点M在O外,则直线x0x+y0y=r2与O的位置关系是 相交 ; 若点M在O内,则直线x0x+y0y=r2与O的位置关系是 相离 . (2)过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外一点M(x0,y0)引圆的切线,切点为T,切线长公 式为|MT|= .,直线与圆的位置关系的解题策略 1.直线与圆的位置关系 (1)直线与圆相切圆心到直线的距
3、离等于半径长直线与圆只有一个 公共点直线和圆的方程组成的方程组只有一组解; (2)直线与圆相交圆心到直线的距离小于半径长直线与圆有两个公 共点直线和圆的方程组成的方程组有两组解; (3)直线与圆相离圆心到直线的距离大于半径长直线与圆无公共点 直线和圆的方程组成的方程组无解. 2.判断直线和圆的位置关系的方法 用方程组解的个数或用圆心到直线的距离判断,一般情况下,后一种方 法相对简单,但如果判断两圆相交并求交点坐标,必须求方程组的解,这,方法技巧,样用第一种方法可起到一举两得的作用. 例1 (2017浙江高考模拟训练冲刺卷四,8)已知圆C的方程为x2+y2-8x+1 5=0,若直线y=kx-2上
4、至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与 圆C有公共点,则k的取值范围是 ( ) A.0k B.k C. k D.k0或k,A,解题导引 导引一:设满足题设的点为(t,kt-2)利用两圆有交点得关于t的二次不等式有解由判别式大于等于零得结论 导引二:把两圆有公共点转化为圆心C到直线的距离不超过两半径之和解不等式得结论,解析 解法一:已知圆的标准方程为(x-4)2+y2=1.设满足题设的点为(t,kt- 2),则关于t的不等式0(t-4)2+(kt-2)24有解,即关于t的不等式(1+k2)t2-(4 k+8)t+160有解,从而=16(k+2)2-64(1+k2)0,解得0k . 解法二
5、:由题意可知,两圆有公共点,则可知圆心(4,0)到直线y=kx-2的距 离不超过2,即 2,解得0k ,故选A.,直线与圆的综合应用的解题策略 1.运用圆的几何性质和垂径定理,把问题化归为直线与圆的位置关系问 题. 2.在遇到角度、长度问题时,往往利用向量进行转化. 例2 (2017浙江镇海中学阶段测试,20)已知圆N:(x+3)2+y2=1,抛物线M:y = x2,F(0,1). (1)若P为圆N上任意一点,求|PF|的最小值及相应的点P的坐标; (2)在抛物线M上是否存在纵坐标和横坐标均为整数的点R,使过R且与 圆N相切的直线l1,l2,分别交直线l:y=-1于A,B两点,且|AB|=4
6、,如果存在, 求出R点的坐标;如果不存在,请说明理由.,解题导引 (1)最小值即为圆外的点到圆心的距离减去半径直线NF与圆的交点 即为点P解方程得结论 (2)设R(2t,t2),切线方程为x-2t=m(y-t2)利用直线与圆相切的性质 得关于m的二次方程由韦达定理把|AB|表示成t的函数解方程得结 论,解析 (1)由题意可得,N(-3,0),直线NF的方程为y=1+ ,代入圆N的方程, 得 (x+3)2=1,所以,当P点坐标为 时,|PF|有最小值 -1. (2)设R(2t,t2),过点R的圆的切线方程为 x-2t=m(y-t2), 令y=-1,则有x=2t-m(t2+1). 由题知点N到直线x-2t=m(y-t2)的距离为 =1,化简得(t4-1)m2-2 (2t+3)t2m+(2t+3)2-1=0, 显然t41,=4(t4+4t2+12t+8), 且m1+m2= ,m1m2= ,所以|AB|=(t2+1)|m1-m2|=(t2+1) = . 因为|AB|=4 ,所以 =4 ,化简得7t4-20t2-12t=0, 所以t=0,或7t3-20t-12=0. 由tZ,且7t3=20t+12,知t为偶数,不妨设t=2s(sZ),则由14s3-10s-3=0,易 知,该方程无整数解.故存在点R(0,0)满足题意.,
