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1、第三章 均值方差证券投资组合选择模型,马科维茨Markowitz证券组合选择 投资选择：风险（低）收益（高）之间的“平衡” 基于期望收益率上的投资决策，最多只能获得最高的平均收益率 风险收益的“数量化” 前沿组合、无差异曲线数学性质,第一节 风险和收益的数学度量,用随机变量表示未来的收益率 用期望代表：平均收益率 方差代表风险（得到平均收益率的不确定性 ） 从分布函数（条件太强）计算收益和风险 从“历史”样本估计收益和风险,证券之间关联性相关系数,某一证券价格的变动可能伴随着另一证券价格的变动。关联性普遍存在。 需要度量关联性的方向和程度 随机变量的协方差和相关系数 从联合分布可计算。 用历史
2、数据计算（3.10）(3.11),三种相关程度： 1、完全线性相关：完全决定另一个 AB1或AB-1 rAabrB , 2Ab22B 2、不完全线性相关：“部分”决定另一个 rAabrB 2Ab22B2（） 3、不相关：一证券的变化对另一证券的变化“没有贡献” AB0或cov（rA，rB）0,组合的期望和方差计算方法,以两组合为例，多组合类推 “两证券组合”的收益率数学表示法 证券A和B，以总资金的WA的比例投资于A，以WB于B。WAWB1，则拥有证券组合 P（WA，WB） WA，WB为组合P中A的权数和B的权数 假设AB的收益率为rA和rB，则 P的收益率为rPWArAWBrB 权数可以为负
3、。 WA0，表示该组合投资者卖空证券A,两证券组合的期望收益率与方差计算方法 必须知道相关系数或协方差 E（rP）WAE（rA）WBE（rB） 2PW2A2AW2B2B 2WAWBABAB 选择不同的组合权数，得到不同的组合，从而得到不同的期望收益率和方差。 WA和WB有无限种取法，投资者有无限多种证券组合可供选择。 每个投资者根据自己对收益和方差（风险）的偏好，选择符合自己要求的证券组合,两种证券的结合线,分多种情况：双曲线、直线、折线 构建0风险组合、存在无风险证券情况,第二节马克维茨模型的运作过程,模型的假设条件 假设1：收益率的概率分布是已知的； 假设2：风险用收益率的方差或标准方差表
4、示； 假设3：影响决策的因素为期望收益率和风险； 假设4：投资者遵守占优原则，即， 同一风险水平下，选择收益率较高的证券； 同一收益率水平下，选择风险较低的证券。,投资组合几何表示和可行域,选定了证券的投资比例，就确定了组合。可以计算该组合的期望收益率EP和标准差P 以EP为纵坐标、P为横坐标，在EP-P坐标系中可以确定一个点。每个组合对应EP-P中的一个点 反过来，EP-P中的某个点有可能反映某个组合 选择“全部”有可能选择的投资比例，那么，全部组合在EP-P中的“点”组成EP-P中的区域 可行域（feasible set） 可行域中的点所对应的组合才是“有可能实现”的组合。 可行域之外的点
5、是不可能实现的证券组合。 可行域机会集,可行域必须满足的形状,左上边缘部分向外凸或直线“凸集” 可以证明，边界是双曲线。,有效边界和有效组合,判断组合好坏的公认标准投资者共同偏好 第一：以期望衡量收益率，方差衡量风险， 仅关心期望和方差 第二：期望收益率越高越好，方差越小越好 可行域内部和右下边缘上的任意组合，均可以在左上边界上找到一个比它好的组合。淘汰 最佳组合“必须来自”左上边界有效边界 有效组合有效边界对应的组合,对风险补偿的偏好和无差异曲线,增加同样的风险，不同的投资者所要求得到的期望收益率补偿的高低可能不一样。补偿数额越高，对风险越厌恶 对某个特定投资者，根据对风险的态度，可以得到一
6、系列满意程度相同（无差异）的组合 无差异曲线的特征 波动方向一定是从左下方向右上方，单调性 曲线将变得越来越陡，凸函数 无差异曲线的形状（弯曲程度）因人而异，反映投资者的风险偏好态度 无差异曲线族中的曲线互不相交，等高线不相交,根据无差异曲线可以比较任意两个组合的好坏 无差异曲线位置越靠左上，满意程度越高 CABD,切点是最佳证券组合点,第三节 组合有效前沿的数学推导,定义：一个证券组合被称为是前沿证券组合，如果它在所有“等均值收益率”的证券组合中，方差最小 每个前沿证券组合一定对应一个收益率 “前沿证券组合q”对应收益率q的前沿组合 前沿证券组合的数学表示 假定在无摩擦市场上存在N(1)种风
7、险资产，允许无限制卖空。假设收益率的方差有限，并且均值不相等，而且，任何一个资产的收益率不能由其它资产收益率的线性组合表出（收益率线性无关）。 它们收益率的方差协方差矩阵V是正定矩阵,前沿组合的数学表述和求解,前沿组合权重向量Wp是下列二次规划问题的解 是前沿证券对应的收益率 用拉格朗日乘子法求解,证券组合前沿,任何前沿证券组合可以表示成上述形式。 任何能写成上述形式的组合是一个前沿证券组合 对应不同的收益率，优化问题可以得到不同的解，进而得到不同的前沿证券组合。 “取遍”所有可能的收益率，其“轨迹”就是一条曲线。 由全体“前沿证券组合”构成的“集合” 证券组合前沿（portfolio fro
8、ntier）。 是今后定义有效边界（有效前沿 ）的基础,证券组合前沿的性质,g和h是两个特殊“解向量” 性质3-1 ：g对应的收益率是0，g+h对应1。 性质3-2：任何前沿证券组合可以由g和gh通过再组合得到。可以表示成“线性组合 ”。 性质3-2：前沿证券组合可以由任意两个不相同的前沿证券组合进行再组合而得。,证券组合有效前沿的几何结构,收益率标准差（方差）均值空间 机会集（可行域）是双曲线 所围的区域 前沿组合的协方差（3.22） 方差 这是一条双曲线。渐进线 中心点为（0，AC）,双曲线图形,在收益率的方差均值空间中， 机会集是顶点为（C-1/2，A/C）的抛物线 图形,最小方差证券组
9、合mvp,mvpminimum variance portfolio 所有可行证券组合中mvp的方差最小 mvp是双曲线（抛物线）的顶点 mvp的坐标（C1/2，A/C） mvp的投资权重 性质3-3：对所有的证券组合p（不仅限于前沿证券组合）,有效证券组合（或有效边界）efficient portfolios,双曲线从mvp开始： 向右上方的一支，是有效的 向右下方的一支，是无效的 “有效组合”“前沿组合”“期望A/C” 凸组合定义：非负，和为1。 性质3-4：有效证券组合集是凸集,第四节零协方差前沿证券组合,zc(p)与p是有特殊关系的前沿证券组合， 非前沿组合也有0协方差zc(p)的概念
10、 前沿证券p的零协方差前沿证券组合 zc(p)，之间的协方差为0 性质3-5：对于的任意一个有效前沿证券组合p（pmvp），存在唯一的零协方差前沿证券组合zc（p）。 前沿证券组合zc（p）和p的地位是“对称的” 从证明中可以看出，不同时是有效组合,zc(p)的几何含义,双曲线：切线在纵轴上的截距 抛物线：p和mvp的连线的截距,非前沿组合的零协方差组合,对非前沿证券组合q，与q协方差为零的全部组合中，组合Q的方差最小。仍记，Qzc（q） 数学表达为规划问题,用拉格朗日求解zc(q) Qzc(q) 是q与mvp的再组合，Wq是负数。 期望收益率为,zc(q)的几何含义,证券组合q的0协方差前沿
11、组合zc(q)的收益率的期望值是证券组合q和mvp的连线在纵轴上的截矩。图3.11a,p,Zc(q),zc(p),垂直传导性,定理3.1：任意非前沿证券组合q及前沿证券组合p,q,Zc(p),水平传导性,定理3.2：任意非前沿证券组合q及前沿组合p,p,q,Zc(q),q零协方差组合生成的前沿曲线Fq,Fq是规划问题 随E的变动，得到曲线Fq Fq上的点是zc（q）和zc（p）的再组合 Fq与有效前沿F0 在zc（p）点相切 取不同的q，得到不同的Fq ，F0是Fq的包络线,第五节用前沿组合对任意组合定价,利用零协方差证券组合对资产定价 任意证券组合i与前沿组合期望方面的关系 任意证券组合i，
12、任选一个前沿组合p（mvp除外）， PI是p和i的结合线（仍然是双曲线） 可以证明，PI与证券组合前沿（由所有资产生成）相切于p点，“最外层”。 两条曲线在p点的斜率相等，得到定价公式。,定价公式推导的图形说明,另一种推导方法利用I和p的协方差的表达式，将p的具体投资比例代入可得 定理3.3：任意一个证券组合q的收益率期望值都可以表示成任意一个前沿证券组合p（除mvp外）与其对应的前沿证券组合zc（p）的收益率均值的线性组合 zc(p)和p的地位是对称的，zc（zc（p）p zc(p)和p互换，定价公式另一种形式（3.28）,定价公式的事后形式,事前形式（式中有期望E），不含随机变量 事后形式
13、（没有期望E），含随机变量或误差 将定价公式中的E去掉，得 定理3.4：对于两个协方差为零的前沿证券组合p和zc（p），总可以将任意证券组合q表示为这两个前沿证券组合的线性组合，即 如果q是前沿组合，则没有误差项。前岩组合可以被线性表示（性质3.2a）,第六节 存在无风险证券情况下的证券组合前沿和定价,如果投资对象中含有无风险证券，有效前沿组合（有效边界）的“模样”有特殊性 有效前沿组合以及其有关几何结构性质有所加强，其结论更细化 曲线变成直线,无风险证券情况下组合前沿问题的数学提法和求解,Wp是风险资产的权重（N维向量） 无风险收益率rf,无风险证券情况下证券组合前沿是直线型,截距，斜率都可
14、以计算“ 斜率一正一负两条直线,无风险证券情况下组合前沿的组合含义和几何结构,无风险收益率的大小将会影响证券前沿具体是直线的“ 模样”，分三种情况 rf A/C、 rf A/C、 rf A/C A/C表示，“不存在无风险资产情况下”，mvp的期望值 存在无风险资产之后，证券组合前沿由双曲线向左进行了扩张。是由两条射线所“围成”的区域,对于rfA/C,正斜率直线与双曲线相切，切点是e点 直线e左侧上的点是e和rf的凸组合 直线e右侧侧上的点是卖空r rf ，买入e 负斜率直线不与双曲线相交 卖空e，买入rf r,rfA/C的几何图形,rfA/C,正斜率直线不双曲线相切 卖空e，买入r 负斜率直线
15、与双曲线相切，e点 e左侧的点是e和r的凸组合 e右侧的点是卖空r，买入e,rfA/C,正、负斜率直线是双曲线的渐近线 直线上任何一点的投资权重之和0 将资产全部投资于r 持有的风险资产的投资比例之和0,存在无风险资产情况下定价问题,定理3.3：任意证券组合q，收益率均值均可以被表示成任意一个前沿证券组合p（除mvp外）与其对应的zc(p)的收益率均值的线性组合。 类似结果。 切点e的权重计算（3.2）：只考虑rfA/C。,从几何图形角度计算e的权重,切点e的风险资产权重We是规划问题之解 几何含义是最大斜率。结果与前面相同,p,e,A/C,资产定价公式,存在无风险资产时，类似于定理3.3的定
16、价公式对第i个资产进行定价。（3.34）中的e，换成其它前沿曲线（此时是直线）上的组合p，该公式也成立 p是前沿组合（直线上一点），q是任意组合 该定价关系式不考虑rf与A/C之间的大小关系,夏普率（Sharpe Ratio）,对于任意风险资产组合p 称为夏普率，或标准差（）风险价格 从图3-14中知，前沿证券组合曲线（直线）上的组合的夏普率都相等，同时也具有最大的夏普率 上面的切点e是一个特殊的证券组合。它是夏普率最大的纯风险证券组合，它就是CAPM中的“市场组合”（market portfolio） 所谓纯风险证券组合是指 ，证券组合中不含有无风险证券，全部由风险证券组成,*第七节一般证券投资组合选择模型,前面的推导是在均值方差效用下所作出的 引入效用函数后，才能真正具体确定最优证券组合，这就是一般的含义 一般证券选择模型内容比较多，复杂 只介绍初级
