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1、利用导数解决与不等式有关的问题一、 利用导数证明不等式我们知道函数在某个区间上的导数值大于（或小于）0时，则该函数在该区间上单调递增（或递减）。因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数证明该函数的单调性,然后再用函数单调性达到证明不等式的目的。即把证明不等式转化为证明函数的单调性。具体有如下几种形式：1、 直接构造函数，然后用导数证明该函数的增减性；再利用函数在它的同一单调递增（减）区间，自变量越大，函数值越大（小），来证明不等式成立。例1：x0时,求证；xln(1+x)0证明：设f(x)= xln(1+x) (x0), 则f(x)=x0,f(x)0时,f(x)f(0)=
2、0，即xln(1+x)ae, 求证:abb a, (e为自然对数的底)证：要证abb a只需证lnablnba 即证：blnaalnb0设f(x)=xlnaalnx (xae)；则f (x)=lna,ae,xa lna1,0,因而f(x)在（e, +）上递增ba,f(b)f(a)；故blnaalnbalnaalna=0；即blnaalnb所以abb a成立。（注意，此题若以a为自变量构造函数f(x)=blnxxlnb (ex0时时，故f(x)在区间（e, b）上的增减性要由的大小而定，当然由题可以推测故f(x)在区间（e, b）上的递减,但要证明则需另费周折，因此，本题还是选择以a为自变量来构
3、造函数好，由本例可知用函数单调性证明不等式时，如何选择自变量来构造函数是比较重要的。）二、利用导数解决不等式恒成立问题不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转化为mf(x) (或m0时，解得0x, h(x)0时x所以h(x)在（0，）上递增，在（，+）上递减, 故h(x)的最大值为，所以三、利用导数解不等式例8：函数f(x)=,解不等式f(x)1解：由题知 a1时,f(x)1a0恒成立，故f(x)在R上单调递减，又f(0)=1，所以x0时f(x)f(0)=1，即a1时f(x)1的解为 x|x00a0时解得x,0时解得故f(x)在上单调递减，f(x)在或上单调递增，又f(x)=1时解得x=0或x=，且0a1时所以0a1时f(x)1的解为x|由上得，a1时f(x)1的解为 x|x00a1时f(x)1的解为x|总之，无论是证明不等式，还是解不等式，只要在解题过程中需要用到函数的单调性或最值，我们都可以用导数作工具来解决。这种解题方法也是转化与化归思想在中学数学中的重要体现。3
