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1、 本科毕业论文（设计） 题题 目：目： 关于线性变换的可对角化问题关于线性变换的可对角化问题 学学 生：生： 学号学号: : 学学 院：院： 专业专业: : 入学时间：入学时间： 年年 月月 日日 指导教师：指导教师： 职称职称: : 完成日期：完成日期： 年年 月月 日日 诚 信 承 诺 我谨在此承诺：本人所写的毕业论文关于线性变换的可对角 化问题均系本人独立完成，没有抄袭行为，凡涉及其他作者的观 点和材料，均作了注释，若有不实，后果由本人承担。 承诺人（签名）： 年 月 日 关于线性变换的可对角化问题关于线性变换的可对角化问题 摘摘 要要：线性变换可对角化问题是高等代数的重要内容.我们可以
2、通过探讨矩阵的可对 角化问题来研究线性变换的可对角化问题.本文先给出可对角化的概念;再探讨线性变换可 对角化的判定以及其在高等代数中应用，并简略介绍几种特殊的可对角化问题. 关键词关键词：线性变换可对角化；特征值；特征向量；最小多项式；矩阵可对角化；实对 称矩阵 Diagonolization of linear transformation Abstract: The diagonolization of linear transformation, which can be studied by the diagonalization of matrix, is important in
3、higher algebra. In this paper, we first introduce the conception of diagonolization, then discuss the decision of diagonolization of linear transformation and its applications in the advanced algebra, moreover, we introduce briefly several kinds of special diagonolization problems. Key words: Diagon
4、alization of linear transformation; Eigenvalue; Eigenvector; Minimal polynomial ; Matrix diagonalization; Real symmetric matrices 目目 录录 1 1 引言引言11 2 2 可对角化的概念可对角化的概念11 3 3 判定方法判定方法11 4 4 两个矩阵同时合同对角化两个矩阵同时合同对角化44 5 5 几类特别的可对角化矩阵几类特别的可对角化矩阵66 6 6 应用应用66 6.16.1 矩阵相似的判断矩阵相似的判断.6.6 6.26.2 方阵高次幂方阵高次幂.7.7
5、6.36.3 化实对称矩阵为对角形矩阵化实对称矩阵为对角形矩阵.7.7 6.46.4 求特征值求特征值.8.8 6.56.5 经典例题经典例题.8.8 7 7 小结小结.9.9 参考文献参考文献1010 1 1 引言引言 我们要想研究可对角化问题,可以从它在某组基下的矩阵下手.那我们该如何 研究这个问题?它的概念是什么?对角化有哪些判断方法?它们应该如何应用?下 面将综合介绍一下以上问题. 2 2 可对角化的概念可对角化的概念 定义定义8 8 设 是维线性空间的一个线性变换, 为在某一组基下的nVA 矩阵且与矩阵相似，其中矩阵是对角形矩阵，则称可对角化,也称线性ABBA 变换可对角化.我们把叫
6、做的相似对角形矩阵.BA 3 3 判定方法判定方法 3.13.1 定理定理 1 18 8 设维线性空间内有一个线性变换，且为它在某一组基下的nA 矩阵，要是为对角形矩阵，那么可对角化.A 例例 1 1 设在三维线性空间内有一个线性变换，是在基 400 030 003 1 A 下的矩阵，由于为对角形矩阵，可知可对角化. 321 , 1 A 3.23.2 定理定理 2 21 1 设是维线性空间内的一个线性变换，且有个线性无关nn 的特征向量，则可对角化. 证明 “必要性” 假设可对角化，令 .),( 21n ),( 21n m 2 1 即 ，；特征值为，则 是的特 iii )(ni, 2 , 1
7、n 21,n , 21 征向量,由已学知识可知是不相关的. n , 21 “充分性” 设有个不相关的向量，并且它们都是的特征n n , 21 向量，设 ，其中； 将作为线性空间中的一 iii )(ni, 2 , 1 n , 21 组基，则满足： )(,),(),( 21n ),( 2211nn .),( 21n m 2 1 即在基下的矩阵为对角形矩阵，从而可对角化. n , 21 例例 2 22 2 是在基下的矩阵，试利用定理 2 判 163 222 123 A 321 , 断是否可对角化. 解 由于，的特征值为：)4()2( 163 222 123 2 AEA .4, 2 321 对于，由知
8、基础解系是：2 21 02XAE 和. 0 1 2 1 0 1 由已学知识可知它们是线性无关的，故它们对应的特征向量为： , . 211 2 312 对于，由知基础解系是：4 3 04XAE . 1 3 2 3 1 由已学知识可知它是线性无关的，故它对应的特征向量为： . 3213 3 2 3 1 由以上可知包含三个特征向量，并且它们是线性无关的.其个数 1 2 3 刚好等于空间维数，由定理 1 知可对角化. 3.23.2 推论推论 1 12 2 设是维线性空间的一个线性变换，若在数域中的特征nVP 多项式包含个互不相等的根，那么可对角化.n 例例 3 3 设二维线性空间内有一个线性变换，是它
9、在基下 31 02 A 21, 的矩阵，试利用推论 1 判断是否可对角化. 解 由知的特征值为. 31 02 AE)3)(2(A3, 2 21 因为它们是不相等的，所以特征值的个数与空间维数相等.由推论 1 知可对角 化. 3.33.3 推论推论 2 25 5 设维线性空间内有一个线性变换，其中的特征值是nV ，并且它们是不相同的.用来表示对应的个特征 n , 21 i irii , 21 i i r 向量，那么：;, 2 , 1ki ，则可对角化.1nrrr i 21 ，则不可对角化. 2nrrr i 21 例例 4 4 已知 ，试利用推论 2 判断它们是否, 400 130 013 2 A
10、 400 030 103 3 A 可对角化. 解 通过计算和知的特征值是相同的，它们0 2 AE0 3 AE 32, A A 全部为（二重） ，.3 1 4 2 首先讨论，对于（二重） ，由知它的基础解系是： 2 A3 1 03 2 XAE .因为是的特征值而且是二重根，但只对应一个特征向量， T 0 , 0 , 1 1 3 1 2 A 故只包含个特征向量.它的个数比空间维数要少，由推论 2 知不可对角 2 A2 2 A 化. 最后讨论 ，对于（二重） ，由知它的基础解系是： 3 A3 1 03 3 XAE . 对于，由知它的基础解系是： TT 010001 21 ，和，4 2 04 3 XA
11、E ；故有 个特征向量而且它们是线性无关的，特征向量的个数与 T 101 3 ， 3 A3 空间维数相等，由推论 2 知可对角化. 3 A 3.43.4 定理定理 3 37 7 在数域 上，设是矩阵的所有互不相同的P k ， 3 ,21 A 特征值.如果满足，那么可以对角 0 321 EAEAEAEA k A 化. 例例 5 5 设有一个线性变换，是它在基下的矩 163 222 123 A 321 , 阵，试利用定理 3 判断能否可对角化. 解 由上面例 2 知，故是矩阵的所有不同 42 2 AE4-2与A 特征值.又 . 000 000 000 363 222 127 363 242 121
12、 42EAEA 通过定理 3 知可以对角化.A 3.53.5 定理定理 4 49 9 是复数域上的矩阵，当矩阵的最小多项式没有重根时，则AA 可以对角化.A 例例 6 6 设一个线性变换，是它在基下的矩阵， 163 222 123 A 321 , 试利用定理 4 判断是否可对角化. 解 由上面例 2 知，则的最小多项式有以下两种 42 2 AEA 可能： . 4242 2 或 计算推出的最小多项式为.通过定理 4 知042EAEAA42 可对角化.A 4 410 10 两个矩阵同时合同对角化 两个矩阵同时合同对角化 4.14.1 定义定义10 10 设矩阵 ，若存在可逆矩阵，使和同时AB nn R PAPPTBPPT 为对角形矩阵，则、可同时合同对角化.AB 4.24.210 10 同时合同对角化的计算方法 同时合同对角化的计算方法 下面是以为阶实对阵正定矩阵，为阶实对阵矩阵为例给出计算步AnBn 骤： （1）求出的个特征值，再求出特征向量；An （2）对于每个不一样的特征值，把它们的特征向量标准正交化后通过列的形式 构成阶正交阵，那么，令n 1 P n T diagAPP， 2111 ， n diagPP 111 21 1 ， 则是可逆的，同时满足；PAPPTE （3）解出，再求出它
