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1、6.4、用模拟滤波器设计IIR数字滤波器,设计思想：,s 平面 z 平面,模拟系统 数字系统,H(z) 的频率响应要能模仿 Ha(s) 的频率响应， 即 s 平面的虚轴映射到 z 平面的单位圆,因果稳定的 Ha(s) 映射到因果稳定的 H(z) ， 即 s 平面的左半平面 Res 0 映射到 z 平面的单位圆内 |z| 1,设计方法：,- 冲激响应不变法,- 阶跃响应不变法,- 双线性变换法,6.5、冲激响应不变法,数字滤波器的单位冲激响应 模仿模拟滤波器的单位冲激响应,1、变换原理,T抽样周期,根据理想采样序列拉氏变换与模拟信号拉氏变换的关系, 理想采样 的拉氏变换 与模拟信号 的拉氏变换
2、之间的关系。, 理想采样 的拉氏变换 与采样序列 的 Z 变换 之间存在的 S 平面与 Z 平面的映射关系。,s平面与z平面的映射关系,以上表明，采用冲激响应不变法将模拟滤波器变换为数字滤波器时，它所完成的 S 平面到 Z 平面的变换，正是拉氏变换到Z变换的标准变换关系，即首先对Ha(s)作周期延拓，然后再经过 的映射关系映射到 Z 平面上。,稳定性： 如果模拟滤波器是稳定的，则所有极点 Si 都在S左半平 面，即 Resi0 , 那么变换后H(Z)的极点 也都在单位圆以内，即 , 因此数字滤波器保持稳定。,S平面上每一条宽为 的横带部分，都将重叠地映射到Z平面的整个平面上: 每一横带的左半部
3、分映射到Z平面单位圆以内， 每一横带的右半部分映射到Z平面单位圆以外， 轴映射到单位圆上， 轴上每一段 都对应于绕单位圆一周。,映射关系 ：,S 平面,Z 平面,Z=esT的映射关系反映的是Ha(s)的周期延拓与 H（Z）的关系，而不是Ha(s)本身与H（Z）的关系，因此，使用冲激响应不变法时，从Ha(s)到H(z)并没有一个由S平面到Z平面的一一对应的简单代数映射关系，即没有一个S=f(z)代数关系式。,2、混迭失真,仅当,数字滤波器的频响在折叠频率内重现模拟滤波器的频响而不产生混迭失真：,数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓，周期为,实际系统不可能严格限带，都会混迭失真，在
4、处衰减越快，失真越小,当滤波器的设计指标以数字域频率 给定时，不能通过提高抽样频率来改善混迭现象,3、模拟滤波器的数字化方法,系数相同：,极点：s 平面 z 平面,稳定性不变：s 平面 z 平面,S平面的极点与Z平面的极点一一对应，但两平面并不一一对应。,当T 很小时，数字滤波器增益很大，易溢出，需修正,令：,则：,解：据题意，得数字滤波器的系统函数：,设T = 1s，则,模拟滤波器的频率响应：,数字滤波器的频率响应：,4、优缺点,优点：,缺点：,保持线性关系： 线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器,频率响应混迭 只适用于限带的低通、带通滤波器,h(n)完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应
5、时域逼近良好,6.6、阶跃响应不变法,变换原理,数字滤波器的阶跃响应 模仿模拟滤波器的阶跃响应,T 抽样周期,阶跃响应不变法同样有频率响应的混叠失真现象但比冲激响应不变法要小。,6.7、双线性变换法,1、变换原理,使数字滤波器的频率响应 与模拟滤波器的频率响应相似。,冲激响应不变法、阶跃响应不变法：时域模仿逼近 缺点是产生频率响应的混叠失真,为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系，引入系数 c,2、变换常数c的选择,2）某一特定频率严格相对应：,1）低频处有较确切的对应关系：,特定频率处频率响应严格相等，可以较准确地控制截止频率位置,3、逼近情况,1）,2）,4、优缺点,优点：
6、,避免了频率响应的混迭现象,s 平面与 z 平面为单值变换,缺点：,除了零频率附近， 与 之间严重非线性,2）要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型，不然会产生畸变,分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器，但临界频率点产生畸变,预畸变,给定数字滤波器的截止频率 ，则,按 设计模拟滤波器，经双线性变换后，即可得到 为截止频率的数字滤波器,5、模拟滤波器的数字化方法,可分解成级联的低阶子系统,可分解成并联的低阶子系统,6.8、常用模拟低通滤波器特性,将数字滤波器技术指标转变成模拟滤波器技术指标，设计模拟滤波器，再转换成数字滤波器,模拟滤波器,巴特沃斯 Butterworth 滤波器,切
7、比雪夫 Chebyshev 滤波器,椭圆 Ellipse 滤波器,贝塞尔 Bessel 滤波器,1、由幅度平方函数 确定模拟滤波器的系统函数,h(t)是实函数,将左半平面的的极点归,将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为 的零点，虚轴上的零点一半归,由幅度平方函数得象限对称的s平面函数,将 因式分解，得到各零极点,对比 和 ，确定增益常数,由零极点及增益常数，得,例：,解：,极点：,零点： （二阶）,零点：,的极点：,设增益常数为K0,2、Butterworth 低通逼近,幅度平方函数：,当,称 为Butterworth低通滤波器的3分贝带宽,N为滤波器的阶数,为通带截止频率,1）幅度函数特点
8、：,3dB不变性,通带内有最大平坦的幅度特性，单调减小,过渡带及阻带内快速单调减小,当 （阻带截止频率）时，衰减 为阻带最小衰减,Butterworth滤波器是一个全极点滤波器，其极点：,2）幅度平方特性的极点分布：,极点在s平面呈象限对称，分布在Buttterworth圆上，共2N点,极点间的角度间隔为,极点不落在虚轴上,N为奇数，实轴上有极点，N为偶数，实轴上无极点,3）滤波器的系统函数：,为归一化系统的系统函数,去归一化，得,4）滤波器的设计步骤：,根据技术指标求出滤波器阶数N：,确定技术指标：,由,得：,同理：,令,则：,求出归一化系统函数：,或者由N，直接查表得,其中技术指标 给出或
9、由下式求出：,其中极点：,去归一化,阻带指标有富裕,或,通带指标有富裕,例：设计Butterworth数字低通滤波器，要求在频率低于 rad的通带内幅度特性下降小于1dB。在频率 到 之间的阻带内，衰减大于15dB。分别用冲激响应不变法和双线性变换法。,1、用冲激响应不变法设计,1）由数字滤波器的技术指标：,2）得模拟滤波器的技术指标：选T = 1 s,a）确定参数,用通带技术指标，使阻带特性较好，改善混迭失真,3）设计Butterworth模拟低通滤波器,b) 求出极点（左半平面）,c) 构造系统函数,c) 去归一化,4）将 展成部分分式形式:,变换成Butterworth数字滤波器：,2、用双线性变换法设计,1）由数字滤波器的技术指标：,2）考虑预畸变，得模拟滤波器的技术指标：,a）确定参数,用阻带技术指标，使通带特性较好，因无混迭问题,3）设计Butterworth模拟低通滤波器,b) 求出极点（左半平面）,c) 构造系统函数,c) 去归一化,4）将 变换成Butterworth数字滤波器：,
