计量经济学第十章定性选择模型

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1、第十章 定性选择模型,我们在第四章中曾介绍解释变量为虚拟变量的模型，本章要讨论的是因变量为虚拟变量的情形。在这种模型中，因变量描述的是特征、选择或者种类等不能定量化的东西，如乘公交还是自己开车去上班、考不考研究生等。在这些情况下，因变量是定性变量，我们可以用定义虚拟变量的方法来刻画它们。这种因变量为虚拟变量的模型被称为定性选择模型（Qualitative choice models）或定性响应模型（Qualitative response models）。 如果只有两个选择，我们可用0和1 分别表示它们，如乘公交为0，自驾车为1，这样的模型称为二元选择模型（binary choice Mode

2、ls），多于两个选择（如上班方式加上一种骑自行车）的定性选择模型称为多项选择模型（Multinomial choice models）。,第一节 线性概率模型 二元选择模型如何估计呢？由于它看上去象是一个典型的OLS回归模型，因而一个简单的想法是采用OLS法估计。当然，对结果的解释与常规线性回归模型不同，因为二元选择模型中因变量只能取两个预定的值。线性概率模型（LPM）一般形式如下： 这看上去与典型的OLS回归模型并无两样，但区别是这里Y只取0和1两个值，观测值可以是个人、公司、国家或任何其他横截面个体所作的决定。解释变量中可以包括正常变量和虚拟变量。,下面用一个关于是否读研究生的例子来说明如

3、何解释线性概率模型的结果。模型为：,其中：,设回归结果如下（所有系数值均在10%水平统计上显著）：,对每个观测值，我们可根据（10.3）式计算因变量的拟合值或预测值。在常规OLS回归中，因变量的拟合值或预测值的含义是，平均而言，我们可以预期的因变量的值。但在本例的情况下，这种解释就不适用了。假设学生甲的平均分为3.5，家庭年收入为5万美元，Y的拟合值为,尽管因变量在这个二元选择模型中只能取两个值：0或1，可是该学生的的拟合值或预测值为0.8。我们将该拟合值解释为该生决定读研的概率的估计值。因此，该生决定读研的可能性或概率的估计值为0.8。需要注意的是，这种概率不是我们能观测到的数字，能观测的是

4、读研还是不读研的决定。 对斜率系数的解释也不同了。在常规回归中，斜率系数代表的是其他解释变量不变的情况下，该解释变量的单位变动引起的因变量的变动。而在线性概率模型中，斜率系数表示其他解释变量不变的情况下，该解释变量的单位变动引起的因变量等于1的概率的变动。,GPA的系数估计值0.4意味着家庭收入不变的情况下，一个学生的GPA增加一个点（如从3.0到4.0），该生决定去读研的概率的估计值增加0.4。 INCOME的系数估计值0.002表明，一个学生的成绩不变，而家庭收入增加1000美元，该生决定去读研的概率的估计值增加0.002。 LPM模型中，解释变量的变动与虚拟因变量值为1的概率线性相关，因

5、而称为线性概率模型。,线性概率模型存在的问题 （1）线性概率模型假定自变量与Y=1的概率之间存在线性关系，而此关系往往不是线性的。 （2）拟合值可能小于0或大于1，而概率值必须位于0和1的闭区间内。 回到有关读研的例子。假设学生乙的GPA为4.0，家庭收入为20万美元，则代入（10.3）式，Y的拟合值为 从而得到一个不可能的结果（概率值大于1）。假设另有一个学生丙的GPA为1.0，家庭收入为5万元，则其Y的拟合值为 -0.2，表明读研的概率为负数，这也是一个不可能的结果。,解决此问题的一种方法是，令所有负拟合值都等于0，所有大于1的拟合值都等于1。但也无法令人十分满意，因为在现实中很少会有决策

6、前某人读研的概率就等于1的情况，同样，尽管某些人成绩不是很好，但他去读研的机会仍会大于0。线性概率模型倾向于给出过多的极端结果：估计的概率等于0或1。 （3） 另一个问题是扰动项不是正态分布的。事实上，线性概率模型的扰动项服从二项分布。 （4）此外，线性概率模型存在异方差性。扰动项的方差是 ，这里 是因变量等于1的概率，此概率对于每个观测值不同，因而扰动项方差将不是常数，导致异方差性。可以使用WLS法，但不是很有效，并且将改变结果的含义。,（5）最后一个问题是在线性概率模型中， 以及 不再是合适的拟合优度测度。事实上，此问题不仅是线性概率模型的问题，而是所有定性选择模型的问题。较好一点的测度是

7、模型正确预测的观测值的百分比。首先，我们将每一预测归类为1或0。如果拟合值大于等于0.5，则认为因变量的预测值为1。若小于0.5，则认为因变量的预测值为0。然后，将这些预测值与实际发生的情况相比较，计算出正确预测的百分比：,需要指出的是，这个测度也不是很理想，但预测结果的好坏，并非定性选择模型唯一关心的事，这类模型常被用于研究影响人们进行某个决策的因素。让我们来看一个竞选的例子。假设候选人甲和乙二人竞选某市市长，我们可以用一个二元选择模型来研究影响选民决策的因素，数据见表101，模型为：,其中：,表10-2 两候选人选举线性概率模型回归结果 Dependent variable：CAND1,O

8、bservations：30 = 0.58 Adjusted = 0.53 Residual Sum of Squares =3.15 F-statistic = 11.87,如表102所示，INCOME的斜率估计值为正，且在1%的水平上显著。年龄和性别不变的情况下，收入增加1000元，选择候选人甲的概率增加0.0098。 AGE的斜率估计值也在1%的水平上显著。在收入和性别不变的情况下，年龄增加1岁，选择候选人甲的概率增加0.016。MALE的斜率系数统计上不显著，因而没有证据表明样本中男人和女人的选票不同。 我们可以得出如下结论：年老一些、富裕一些的选民更喜欢投票给候选人甲。 表103给出

9、CAND1的拟合值，每个大于等于0.5的拟合值计入CAND1为1的预测，而小于0.5的拟合值则计入CAND1为0的预测。,从表103可看出，30个观测值中，27个（或90%）预测正确。选甲的14人中，12人（或85.7%）预测正确。选乙的16人中，15人（或93.8%）预测正确。 是0.58，表明模型解释了因变量的58%的变动，这与90%的正确预测比例相比，低了不少。注意表103中有一些拟合值大于1或小于0。这是我们前面指出的这类模型的缺点之一，这些拟合值是概率的估计值，而概率永远不可能大于1或小于0。,第二节 Probit模型和Logit模型 一Probit和Logit方法概要 估计二元选择

10、模型的另一类方法假定回归模型为 这里 不可观测，通常称为潜变量（latent variable）。我们能观测到的是虚拟变量：,这就是Probit和Logit方法的思路。Probit模型和Logit模型的区别在于对（10.7）式中扰动项u的分布的设定，前者设定为正态分布，后者设定为logistic分布。 （10.7）式与线性概率模型的区别是，这里假设潜变量的存在。例如，若被观测的虚拟变量是某人买车还是不买车， 将被定义为“买车的欲望或能力”，注意这里的提法是“欲望”和“能力”，因此（10.7）式中的解释变量是解释这些元素的。 从（10.8）式可看出， 乘上任何正数都不会改变 ，因此这里习惯上假设

11、 Var(ui) = 1，从而固定 的规模。由（10.7）和（10.8）式，我们有,其中F是u的累积分布函数。 如果u的分布是对称的，则 ，我们可以将上式写成,我们可写出似然函数：,（10.9）式中F的函数形式取决于有关扰动项u的假设，如果 的累积分布是logistic分布，则我们得到的是logit模型。在这种情况下，累积分布函数为：,因此,这是因为，由（10.11）式，有：,结合（10.9）式，对于logit模型，有：,上式的左端是机会（odds）的对数，称为对数机会比率（log-odds ratio），因而上式表明对数机会比率是各解释变量的线性函数，而对于线性概率模型， 为各解释变量的线性

12、函数。 如果（10.9）式中 服从正态分布，我们得到的是probit模型（或normit模型），在这种情况下，累积分布函数为：,无论是probit模型还是logit模型，极大似然函数（10.10）都伴随着非线性估计方法，目前很多计量经济分析软件已可用于probit和logit分析，用起来很方便。 由于累积正态分布和累积logistic分布很接近，只是尾部有点区别，因此，我们无论用（10.11）还是（10.12），也就是无论用logit法还是probit法，得到的结果都不会有很大不同。可是，两种方法得到的参数估计值不是直接可比的。由于logistic分布的方差为 ，因此，logit模型得到的的估

13、计值必须乘以 ，才能与probit模型得到的估计值相比较（正态分布标准差为1）。,二Probit模型 Probit模型可以解决很多线性概率模型中遇到的问题。如我们在前面指出的，线性概率模型会给出小于0或大于1 的这种不可能的概率估计值，Probit模型所依据的是累积正态概率分布，将避免这类问题的发生，同时它给出接近0或1的概率估计值的机会也要小于线性概率模型。与线性概率模型相比，Probit模型更准确地描述我们打算研究的许多决策过程。如图10-1所示,图10-1 线性概率模型和Probit模型,虽然Probit模型实际是非线性的，但它可以以一种类似于其他经济模型的方式写出。首先，我们需要将等式

14、（10.12）稍微改写一下，它代表由累积正态概率函数执行的变换：,在上式中，F是一个函数，即将正态概率函数的一个值转换成概率的累积正态概率函数。Probit模型使用其反函数，将概率值转换成 Z 的值。,Probit模型为,尽管乍看上去上式像一个典型的回归模型，但它是一个非线性模型，因为有 这一项。Probit模型不能用OLS法估计，应采用极大似然法估计。,Probit模型（以及我们下面要讨论的Logit模型）在大样本（观测值数以百计）时运转最好。如果样本中两种可能的选择都有足够的信息，则效果更佳。例如，对于我们前面的读研究生的例子，设观测值为200，若其中仅3%的人决定读研，也就是200人中仅

15、有6人，那么在此样本中就没有足够的信息来给出好的估计值，选择读研的样本过少，使得回归结果的可信程度不高。,我们可以将两个候选人的选举模型用Probit模型估计，使用与前面一样的变量和数据，估计结果如表10-4所示。,表104 两候选人选举模型的Probit回归结果 Dependent variable：CAND1,Observations：30 McFadden pseudo-R2 = 0.61 Residual Sum of Squares = 2.62,采用Probit模型估计的结果与前面用线性概率模型估计的结果有所不同。采用Probit模型的情况下，INCOME和AGE的系数估计值在5%

16、的误差水平上显著，而在线性概率模型的情况下，在1%的水平上显著。 由于我们知道线性概率模型存在严重的问题，因此Probit结果可能更准确一些。可是，如果是实际研究的话，要有一个大得多的样本。Probit模型的系数估计值不能像线性概率模型那样，解释成概率的变动。使用Probit模型的一种有意思的方式是求出拟合值进行预测，如我们用线性概率模型所做的一样（表10-3）。,Probit模型中用McFadden的pseudo-R2作为拟合优度的测度。pseudo-R2是用于虚拟因变量模型的拟合优度的测度的名字。pseudo-原意是伪（假），这里采用它，意思是与常规R2类似但不相同，而不是说它是假的。 对于定性选择模型，已经开发了几种有用的pseudo-R2测度，这里所用的是McFadden开发的。很多估计Probit或Logit模型的计量经济程序计算pseudo-R2。本例中给出的0.61的含义是，Probit模