《矿山压力研究方法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《矿山压力研究方法（83页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、有限单元法基本原理,王家臣,矿山压力研究方法 （1）理论分析方法 （2）模拟实验方法 （3）数值计算方法 有限元 边界元 离散元 有限差分,第一章 弹性力学基础,任何弹性体都占有三维空间,在载荷或温度等作用下,弹性体内产生的应力、应变、位移等必然是三维的,一般来说,它们都是空间坐标x、y、z的函数,这样的问题称为空间问题。 从空间弹性体中任意取出一个六面单元体，则一个单元体共有六个独立的应力分量和六个独立的应变分量。 应力分量:x，y，z，zx = xz ，xy =yx，zy =yz 应变分量: x，y，z， zx = xz ， xy = yx， zy = yz,1.1 空间问题的基本方程,单
2、元体边长分别为:dx dy dz ,每个面上有三个应力的分量，其中xz表示x面上z方向上的剪应力。 且有:zx = xz ， xy = yx，zy = yz 。,任取一空间六面单元体,弹性体的边界处也必须满足平衡方程(又称边界条件),弹性体内任意点的位移必须连续,即不能撕裂,也不能重叠，有弹性体内任意点的位移和应变之间需要满足关系,(又称几何方程）,其中:u、v、w是在x、y、z方向上的位移分量。,对于弹性体，联结应力与应变关系的方程，称为胡克定律，也称为本构关系,或应力应变关系。,1.2 平面问题的基本方程,如果弹性体有特殊的尺寸,如:一个方向的尺寸远大于或小于另外两个尺寸,并且有特殊的外力
3、分布,这时空间问题可以简化为平面问题,只需考察平行于某一平面的应力、应变和位移，这些量仅仅是两个坐标，如x、y的函数。,平衡方程,边界条件,几何方程,胡克定律,上述应力、应变只与x、y有关。 除上述所列的应力应变分量外,其余均为零。,1.3 外力的功与应变能,有一杆受轴向力P作用，长度l，断面面积F，弹性模量E，与P力对应的伸长量。由胡克定律：,（1）外力的功,在获得微小增量过程中,载荷平均值:,当P从零增加到任一值Pi时,所做的功为:,应用这一简单公式注意两点: (1)位移i必须是力Pi作用点沿力Pi方向的位移; (2)力与位移都是分别从零增加到Pi、i值的.,（2）应变能,弹性体在外力作用
4、下,会产生变形，外力在弹性体变形过程中,对弹性体做功,同时,弹性体的变形也会积蓄能量，产生变形能,通常称为应变能,或弹性位能,在数值上,弹性体所积蓄的应变能等于外力对弹性体所做的功。,、 D分别称为应变列阵、应力列阵、弹性矩阵。,弹性体所积蓄的应变能：,D是弹性矩阵,是联结应变列阵与应力列阵关系的矩阵,可以从胡克定律中获得.,1.4 虚功原理(虚位移原理),一受力的弹性体处于平衡状态时,若给它任意微小的、实际约束所许可的虚位移,并同时在弹性体内产生虚应变时，体力与面力在虚位移上所做的虚功等于整个弹性体内的虚应变能.,力学中的普遍原理,虚位移:任意微小的、约束条件所允许的假想位移. 虚应变:由虚
5、位移所引起的微小应变. 虚功:在虚位移发生过程中,真实外力所做的功.,平面问题的虚功方程(虚位移方程)：,用矩阵表示的平面虚功方程：,第二章 有限单元法简单引例,有一受自重作用的等截面杆,上端固定,下端自由.单位杆长的重力q,杆长L,横截面面积A,杆的弹性模量E,求杆各截面上的应力.,该问题材料力学有精确答案。任意x截面开始取一微段dx，令该截面上的轴力为N(x),则该微段的伸长量为:,任一x截面的轴向位移:,2.1 简单引例的理论解,上述材料力学的精确解。这个例子是先求位移,然后很容易求得应变和应力,这种先求位移,然后由位移求应变和应力的方法,称为弹性力学解题的位移法.,由于:,2.2 引例
6、的有限元解,（1）划分单元，确定单元的位移函数,把杆分成若干小段(长度不一定相等),把每个小段的重力等效地移置到分点上去,称为结点载荷.分点和小段分别称为结点和单元.该例子分成3个等长的单元,共有4个结点.,由精确解知道,无论杆怎样分割,每个单元的位移都是x的二次函数,但是单元足够短,结点较多,对每个单元可以用线性函数近似地描述它的位移。,1,2,记:,3,与x成直线关系,它们反映了单元的位移形态,所以称其为形函数.令:,形函数矩阵:,结点位移列阵:,单元位移列阵:,（2）通过载荷移置确定节点载荷,利用虚功原理把单元的重力等效移置到结点上去,对于单元eij来说,如果把单元的重力移置到节点i,j
7、上,节点载荷分别用Rie、Rje表示,现在则要计算Rie、Rje的大小.,先看Rie。设单元eij发生这样的虚位移,结点i沿x方向移动一个单位,而节点j不动,即:,单元任意点的虚位移列阵,单元结点的虚位移列阵,单元重力所做的虚功:,Rie所做的虚功为 1Rie, Rje不做功,因为j点不动,没有虚位移. 由静力等效原则,单元重力移置到i点的结点载荷:,单元的结点载荷列阵:,本例中,R1=R2=R2=R3=R3=R4=QL/6,再考虑到处于固定端的结点1,还受有约束反力R=-qL,于是单元载荷移置后,各结点的结点载荷分别为:,（3）确定单元应变矩阵、应力矩阵、单元刚度矩阵,用几何方程、物理方程与
8、虚功方程分析单元的应变、应力、和节点受力与结点位移的关系。由几何方程及,B称为应变矩阵.,应力矩阵反映了单元的应力与结点位移之间的关系,上述是用节点位移表示的单元应变和单元应力,下面通过虚功原理分析单元的结点受力与结点位移的关系.,直杆分成三个单元后,相邻单元间的作用力通过结点来传递,把结点对单元和单元对结点的作用力统称为接结点力.规定结点i、j对单元作用的结点力Vi、Vj，沿x轴正方向为正。对单元来讲,结点力为外力.,结点力列阵:,则对单元来讲,外力的虚功:,而内力的应变能:,由:,根据虚功原理:,由于虚位移是任意的,所以,可取为任意值.有:,根据虚功原理:,由应变矩阵B与应力矩阵G,可计算
9、单元刚度矩阵,（3）形成总体刚度矩阵,建立以结点位移为未知量的线性代数方程组,所有结点在单元对结点的结点力与结点载荷共同作用下,应处于平衡状态,所以以结点为分离体可列出结点的平衡方程.由于单元对结点的结点力与结点对单元的结点力互为作用力与反作用力,Vi(e)、Vj(e)分别表示结点i、j作用在单元(e)上的界结点力,那么单元(e)作用在结点i、j上的结点力分别为：-Vi(e)、-Vj(e)，各结点受力情况见下图.,结点1:,结点4:,结点3:,结点2:,写成矩阵的形式:,即:,若对具体单元,用补充零的办法,把各单元的刚度矩阵升阶到44,单元(e)=3 结点 i=3 j=4,各结点的节点力相加,
10、获得结点位移为未知量的线性代数方程组,总体刚度矩阵，总体结点位移列阵,总体载荷列阵,由于各单元的长度均为 L/3，所以可得:,r=s时, 取”+”,否则取”-”,上述方程组不能直接求解,因为是奇异矩阵(任一行或任一列所有元素之和为零),有无穷多组解,这就要考虑位移边界条件,修正总体刚度矩阵.,（4）位移边界条件处理,边界条件,力的边界条件:无论边界上是集中力还是面力都需要按静力等效原则移置到结点上成为结点载荷,位移边界条件是考虑物体是如何被支承在空间的,给定边界条件会对包括总体刚度矩阵在内的线性方程组进行修正,下面看一般情况的处理过程,写成线性方程组形式,设给定边界条件 为已知,这个联立方程组
11、只有u1、u2、u3三个未知量,前三个方程就足够了,第四个方程是多余的,可写成:,写成矩阵表达式,给定位移边界条件后,总体刚度矩阵有两点修正: （1）K44=1，R4= （2）刚度矩阵第四行中,除K44外,其它元素均为零. 若, =0，则上式降阶为:,但u4=0未包括在算式中,该例的实际情况是,结点1受到位移约束,u1=0,所以按照前面的方法是从总体算式中划去第一行和第一列的全部元素:,（5）解线性代数方程组,解上述线性代数方程组,可得结点的位移:,这是有限元计算结果,代入材料力学的任一x截的轴向位移公式:,将,材料离力学经典解和有限元近似解在单元结点处的值是一样的,单元1,单元2,单元3,前
12、面是各单元的平均应力,也正好是材料力学的单元中点应力,这说明了有限元的有效性和正确性.,（6）有限元的基本步骤,第一步，连续体的离散化：把连续体分割成许多有限大小的单元，并把单元载荷等效地移置到结点上成为结点载荷。把连续体离散为一个仅由结点连接、仅靠结点传力、仅受结点载荷,也仅在结点处受约束的单元组合体,所有结点都假想为铰链，仅传递集中力,不传递力矩。,第二步,单元特征分析:以结点位移为基本未知量,设选一个单元位移函数,并用结点位移表示单元位移等,总之，先离散连续体,然后以结点位移为基本未知量,分析单元特征，建立并求解线性代数方程组,最后由结点位移求单元应力,这种以结点位移为基本未知量的求解方
13、法,称为位移法。,第三章 三角形单元,对于平面和空间问题,在进行有限元计算时,与前面的一维杆单元分析类似,同样将连续体离散成仅在结点处铰接的单元组合体,但是连续体离散时,可以采取多种形式的单元,三角形单元是最常用和最简单的平面单元,3.1 连续体的离散化,计算区域边界应力变化幅度小于5%为界 R.E.Goodman指出: L5R;AH,B6H,对于连续体来说,在相邻单元的公共边界上,本来位移和应力都是连续的,现在假定各单元只在公共结点上相互联结起来,所以两相邻单元只能保证在公共结点上具有相同的位移,计算结果是在相邻单元公共边界上的位移和应力可能是不连续的.因而会带来误差.为了保证必要的计算精度
14、,就应加密网格,使整个连续体内保证位移协调的结点增加,在应力集中区,如巷道、采场、边坡面附近，应局部加密网格,同时在单元的位移函数选取上进行研究,以增加计算精度。对于轴对称问题,可利用对称条件，使计算区域成倍缩小。 采用三角形单元时,每个内角都要小于120，最好为60。,3.2 位移函数,设任意点的位移都是坐标的线性函数,即:,写成矩阵形式,位移函数应满足三个条件,以便在单元尺寸逐步取小时能够收敛于正确答案:,当单元逐步取小时,单元的应变趋于常量; 单元产生的刚体位移不引起单元应变发生变化; 保证单元内部位移的连续性和相邻单元公共边界上的位移协调,经证明,前面选择的位移函数满足上述条件,（1）
15、,从离散的连续体中,任意选一单元来分析,设单元编号为e,三个结点按逆时针编号:i,j,m.相应坐标为(xi,yi),(xj,yj),(xm,ym).单元的位移函数即适用单元内部,也适用单元结点,所以对于单元结点:,上式可以用来确定用结点坐标和结点位移表示的各个系数,（2）式写成矩阵形式,记:,A的行列式:,A的伴随矩阵:,Se是三角形单元的面积,令:,由矩阵求逆公式:,将A-1代入结点位移表达式,有:,将（4）、（5）代入（1），得单元位移:,单元位移:,单元位移写成矩阵形式:,单元位移形函数.,单元结点位移列阵,3.3 单元载荷移置,把体力、面力、单元自重等按照静力等效原则移置到单元结点成为
16、结点载荷.,静力等效原则:单元的原载荷与移置后的结点载荷在任何虚位移上的虚功相等。,Jm边上作用有均布且垂直边上的面力,如m点先有个x方向的虚位移,um=1,其余的虚位移为零.利用静力等效原则进行计算.,载荷移置结果,载荷移置的普遍公式,（1）集中力,设单元e中任意一点(x,y)受有集中力P,其分量为Px Py,即:,假想该单元发生一个微小的虚位移,其中集中力作用点(x,y)的相应虚位移为:,而结点相应的虚位移为 .按着静力等效原则,单元的原载荷与移置后的结点载荷在任何虚位移上的虚功相等,有:,由前面得知:,(1),(2),(3),由于 的任意性,单元载荷列阵:,（2）体积力,设单元e有单位体积力p,其分量为px , py,将微分体积tdxdy上的体积力ptdxdy当作集中力P,这样利用前述集中力的积分可得:,单元载荷列阵:,（3）面力,单元载荷列阵:,3.4 单
