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1、第一章 集 合,章末小结与测评,1集合的含义与表示 (1)集合中元素的特征： 集合中元素具有三大特征：确定性；互异性；无序性正确理解一个集合应从这三个性质入手去分析，集合中的元素是不能重复的，它是题干中隐含的条件，必须引起注意含参数的集合问题，多根据集合元素的互异性来处理，有时需进行分类讨论,(2)集合的表示法： 集合通常有列举法、描述法和图示法三种表示方法列举法常用来表示有限个或有特殊规律的无限个元素构成的集合；描述法是表示具有某种共同属性的元素构成的集合，要特别注意集合中的代表元素是什么及具备怎样的特征性质而图示法主要是指集合可借助Venn图、数轴等直观呈现，体现了数形结合的思想,2元素与
2、集合、集合与集合的关系 (1)元素与集合的关系有且仅有两种；属于(用符号表示)和不属于(用符号表示)如aA，aB等 (2)集合与集合的关系是：,3空集的性质 空集是一个特殊的集合，它不含任何元素空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在解题过程中空集极易被忽视，特别是在题设中隐含有空集参与的集合问题时，忽视空集的特殊性往往导致错解,4集合的基本运算 (1)集合的基本运算包括交集、并集和补集运算要理解三种运算的自然语言、集合语言和图形语言，正确地处理集合与集合之间的关系 (2)在进行集合的交、并、补集的运算时，要善于采用数形结合的思想，用数轴可以形象地表示集合的交集、并集和补集，特别是方程
3、或不等式组的解集在借用数轴分析时，除要正确表示出各不等式的相关的集合外，还需特别注意不等式端点的虚实Venn图是集合的图形语言，集合的交、并、补的运算均可以通过Venn图表示,典例1：已知M1，t，Nt2t1，若MNM，求t的取值集合,解 (1)由题意得A1,2 因为ABB，所以BA. 当B时，方程x2x2m0无实数解，因此其判别式18m8(1)； 当B1或B2时，方程x2x2m0有两个相同的实数解x1或x2，因此其判别式18m0，解得m8(1)，代入方程x2x2m0解得x2(1)，矛盾，显然m8(1)不符合要求； 当B1,2时，方程x2x2m0有两个不相等的实数解x1或x2，因此121,2m
4、2.显然第一个等式不成立 综上所述，m8(1).,解 MNM，NM，即t2t1M. (1)若t2t11，即t2t0，解得t0或t1， 而当t1时，M中两元素不符合互异性，t0. (2)若t2t1t，即t22t10，解得t1， 由(1)知不合题意 综上所述，t的取值集合为0,借题发挥 对集合含义的考查主要集中于集合中元素的特征，特别是元素互异性的考查，题目中常含有字母参数，解答时，常常先用分类讨论的方法对所给字母逐个讨论，确定出待定字母，再讨论集合间的关系和运算,解 (1)由题意得A1,2 因为ABB，所以BA. 当B时，方程x2x2m0无实数解，因此其判别式18m8(1)； 当B1或B2时，方
5、程x2x2m0有两个相同的实数解x1或x2，因此其判别式18m0，解得m8(1)，代入方程x2x2m0解得x2(1)，矛盾，显然m8(1)不符合要求； 当B1,2时，方程x2x2m0有两个不相等的实数解x1或x2，因此121,2m2.显然第一个等式不成立 综上所述，m8(1).,1设集合M1,0,1，Na，a2，则使MNM成立的a的值是( ) A1 B0 C1 D1或1,解析：选A 由MNM知NM. a20，或a21. a0，或a1，或a1. 而当a0，或a1时，不满足集合中元素的互异性 a1.,典例2：已知集合Ax|0x2，Bx|axa3 (1)若ABA，求a的取值范围； (2)若(RA)B
6、R，求a的取值范围； (3)是否存在a，使(RA)BR，且AB？,借题发挥 解答这类问题，首先要在弄清集合中元素的属性的基础上将集合化简，然后再进行求解，一般规律为：当所给集合是数集，用数轴求解；当所给集合是点集，用数形结合求解；当所给集合是抽象集合，用Venn图求解,2已知集合Ax|2x1或x0，Bx|axb满足ABx|0x2，ABx|x2，求a，b的值,解：将集合A，AB，AB分别在数轴上表示 由ABx|0x2，知b2，且1a0， 由ABx|x2，知2a1. 综上可知a1，b2.,典例3：已知集合Ax|x23x20，Bx|x22xa10，ABB，且BA，求实数a的取值范围,解 ABB，且B
7、A，BA. 又A1,2，B，1，2 当B时，44(a1)4(2a)2. 当B1时，得a11，a2. 当B2时，无解 综上所述，得a的取值范围为a|a2,借题发挥 此类问题常利用集合运算的等价性转化为集合之间的关系求解，注意分类讨论和数形结合思想方法的应用,3已知集合Ax|x1或x1，Bx|2axa1，a1，BA，求实数a的取值范围,典例4：对于集合A，B，我们把集合(a，b)|aA，bB记作AB.例如，A1,2，B3,4，则有AB(1,3)，(1,4)，(2, 3)，(2,4)，BA(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，AA(1, 1)，(1, 2)，(2,1)，(2,2)，BB(3
8、,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)据此，试回答下列问题 (1)已知Ca，D1,2,3，求CD； (2)已知AB(1,2)，(2,2)，求集合A，B； (3)A有3个元素，B有4个元素，试确定AB中元素的个数,解 (1)CD(a,1)，(a,2)，(a,3) (2)AB(1,2)，(2,2)，A1,2，B2 (3)集合A中的任意一个元素与B中的一个元素对应后，得到AB中的一个新元素 若A中有m个元素，B中有n个元素，则AB中的元素应为mn个所以，若A中有3个元素，B中有4个元素，则AB中有3412个元素,借题发挥 以集合为背景的新信息题，常见的有定义新概念型，定义新运算型及开放型，解决此
9、类问题的关键是正确理解新的概念或运算再结合集合的含义和运算来解决,4若集合A1，A2满足A1A2A，则称(A1，A2)为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1A2时，(A1，A2)与(A2，A1)为集合A的同一种分拆，则集合Aa1，a2，a3的不同分拆种数是 ( ) A27 B26 C9 D8,解析：选A 当A1为空集时，A2只有一种可能A2A，此时共有1种分拆；当A1含有一个元素时，A2可能含有两个元素或三个元素，此时共有6种分拆；当A1含有两个元素时，A2可能含有一个元素、两个元素或三个元素，此时共有12种分拆；当A1含有三个元素时，A2可能是空集，可能含有一个元素、两个元素或三个元素，此时共有8种分拆故集合A的不同分拆种数为27种,
