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1、第四章 1 函数的单调性与极值,1.2 函数的极值,学习目标 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用. 2.掌握函数极值的判定及求法. 3.掌握函数在某一点取得极值的条件.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考1,知识点一 函数极值的概念,函数在点xa的函数值与这点附近的函数值有什么大小关系？,函数yf(x)的图像如图所示.,函数在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近的其他点的函数值都小.,答案,思考2,f(a)为多少？在点xa附近，函数的导数的符号有什么规律？,f(a)0，在点xa附近的左侧f(x)0.,答案,思考3,函数在xb点
2、处的情况呢？,函数在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0，且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0.,答案,梳理,(1)如图1，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数yf(x)在任何一点的函数值都小于或等于x0点的函数值，称点x0为函数yf(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值.,(2)如图2，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数yf(x)在任何一点的函数值都大于或等于x0点的函数值，称点x0为函数yf(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值.,极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点.,知识点二 求函数yf(x)的
3、极值的步骤,1.求出导数f(x). 2.解方程f(x)0. 3.对于方程f(x)0的每一个解x0，分析f(x)在x0左、右两侧的符号(即f(x)的单调性)，确定极值点： (1)若f(x)在x0两侧的符号为“左正右负”，则x0为极大值点； (2)若f(x)在x0两侧的符号为“左负右正”，则x0为极小值点； (3)若f(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点.,题型探究,例1 判断下列函数有无极值，如果有极值，请求出极值；如果无极值，请说明理由.,类型一 判断与求解极值(点),解答,f(x)x2. 令f(x)0，解得x0. 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表： 由上表可知，该函数无
4、极值.,解答,因为f(x)x22x4(x1)230， 所以函数f(x)在R上为增函数，无极值.,(1)导数值为0的点不一定是函数的极值点，函数在某点的导数值为0是取得极值的必要条件，而不是充分条件. (2)求可导函数f(x)的极值的步骤 确定函数的定义域，求导数f(x)； 求f(x)的拐点，即求方程f(x)0的根； 利用f(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值. 特别提醒：在判断f(x)的符号时，借助图像也可判断f(x)各因式的符号，还可用特殊值法判断.,反思与感悟,跟踪训练1 求下列函数的极值： (1)f(x)2x33x212x1；,解答,函数f(x)2x
5、33x212x1的定义域为R， f(x)6x26x126(x2)(x1)， 解方程6(x2)(x1)0，得x12，x21. 当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表： 所以当x2时，f(x)取极大值21； 当x1时，f(x)取极小值6.,解答,令f(x)0，得x1. 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,因此当x1时，f(x)有极小值3，无极大值.,例2 已知函数f(x)x33ax2bxa2在x1处有极值0，则a_，b_.,类型二 已知函数极值求参数,答案,2,9,解析,f(x)3x26axb，且函数f(x)在x1处有极值0. 当a1，b3时，f(x)3x26x33(x1)2
6、0， 此时函数f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去.,当a2，b9时，f(x)3x212x93(x1)(x3). 当x(，3)时，f(x)0，此时f(x)为增函数； 当x(3，1)时，f(x)0，此时f(x)为增函数. 故f(x)在x1处取得极小值， a2，b9.,引申探究 1.本例的其他条件不变，如果直线yk与函数图像有三个交点，求k的取值范围.,由例2知f(x)极小值f(1)0， f(x)极大值f(3)4， 由图像可知当0k4时， 直线yk与函数图像有三个交点.,解答,2.若本例的条件改为“x3，x1是f(x)x33ax2bxa2的两个极值点”，求常数a，b的值.,f(x)3x26axb
7、0的两根为3和1，,解答,已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点 (1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解. (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.,反思与感悟,跟踪训练2 设x1与x2是函数f(x)aln xbx2x的两个极值点. (1)试确定常数a和b的值；,解答,(2)判断x1，x2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由.,解答,当x(0，1)时，f(x)0； 当x(2，)时，f(x)0.,所以x1是函数f(x)的极小值点，x2是函数f(x)的极大值点.,例3 函数f(x
8、) x34x4的图像与直线ya恰有三个不同的交点， 则实数a的取值范围是_.,类型三 函数极值的综合应用,答案,解析,f(x)x24(x2)(x2). 令f(x)0，得x2或x2. 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,且f(x)在(，2)和(2，)上是增加的，在(2，2)上是减少的. 根据函数单调性、极值情况，它的图像大致如图所示，,利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图像，从直观上判断函数图像与x轴的交点或两个函数图像的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便.,反思与感悟,跟踪训练3 已知函数f(x)x36x29x3，若函数y
9、f(x)的图像与y f(x)5xm的图像有三个不同的交点，求实数m的取值范围.,解答,由f(x)x36x29x3，可得f(x)3x212x9， 则由题意可得x36x29x3x2x3m有三个不相等的实根， 即g(x)x37x28xm的图像与x轴有三个不同的交点. g(x)3x214x8(3x2)(x4)，,当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下表：,当堂训练,1.已知函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图像如图，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4,2,3,4,5,1,函数f(x)在极小值点附近的图像具有先降后
10、升的特点，因此应该在导函数的图像上找曲线从x轴下方过渡到x轴上方时与x轴的交点，这样的点有2个，所以函数f(x)在开区间(a，b)内有2个极小值点.,答案,解析,f(x)3ax22x1，令f(x)0， 即3ax22x10有两个不等实根，,2.已知函数f(x)ax3x2x5在(，)上既有极大值，也有极小值，则实数a的取值范围为,2,3,4,5,1,答案,解析,3.已知a为函数f(x)x312x的极小值点，则a等于 A.4 B.2 C.4 D.2,f(x)x312x， f(x)3x212， 令f(x)0，则x12，x22. 当x(，2)，(2，)时，f(x)0，则f(x)单调递增； 当x(2，2)
11、时，f(x)0，则f(x)单调递减， f(x)的极小值点为a2.,2,3,4,5,1,答案,解析,4.已知曲线f(x)x3ax2bx1在点(1，f(1)处的切线斜率为3，且x是yf(x)的极值点，则ab_.,2,3,4,5,1,因为f(x)3x22axb，,答案,解析,2,2,3,4,5,1,解答,2,3,4,5,1,当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,2,3,4,5,1,解答,(2)若f(x)是单调函数，求a的取值范围.,由题意知ax22ax10有两相等实根或无根， 当a0时，方程无根，符合题意， 当a0时，(2a)24a0， 得0a1. 综上可得实数a的取值范围为0，1.,规律与方法,1.在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值. 2.函数的极值是函数的局部性质.可导函数f(x)在点xx0处取得极值的充要条件是f(x0)0且在xx0两侧f(x)符号相反. 3.利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图像的交点问题.,本课结束,
