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1、第2章 投影法及点、 直线和平面的投影,2.1 投影法的基本知识 2.2 点的投影 2.3 直线的投影 2.4 平面的投影,2.1 投影法的基本知识 一、投影法 物体在光线照射下会产生影子, 如图2-1所示。用几何方法分析这种自然现象(图2-2),把光源S称为投射中心, 光线称为投射线, 得到影子的平面称为投影面, 物体的影子称为投影。因此, 要作出物体在投影面上的投影, 实质上就是作出通过该物体的点、线、面的投射线与投影面的一系列交点和交线。这种按几何法将物体表示在平面上的方法, 称为投影法。,图2-1 投影现象,图2-2 投影方法,二、 投影法的分类 1. 中心投影法 投射中心S距离投影面
2、有限远时, 所有投射线汇交于投射中心, 如图2-2所示，这种投影方法称为中心投影法。按中心投影法作出的投影称为中心投影，这种投影法主要用于绘制建筑物的透视图。 2. 平行投影法 投射中心距离投影面无限远时, 所有投射线互相平行, 如图2-3所示，这种投影法称为平行投影法。按平行投影法作出的投影称为平行投影。在平行投影法中, 投射线的方向称为投射方向。根据投射方向与投影面是否垂直, 平行投影法又分斜投影法和正投影法两种。,图2-3 平行投影,(1) 斜投影法: 投射方向与投影面倾斜, 如图2-3(a)所示。 (2) 正投影法: 投射方向与投影面垂直, 如图2-3(b)所示。正投影法主要用于绘制机
3、械、电气、建筑和土木工程等图样。 轴测投影(轴测图)是平行投影的一种。轴测图立体感强，在工程中常用作辅助图样。本教材中反映点、线、面、体在空间投影情况的插图以及反映物体空间形状的插图等均采用轴测图。,三、平行投影的基本性质 1. 平行投影的不变性 (1) 点的投影仍然是点。 (2) 直线的投影一般仍是直线, 如图2-4所示。直线上点的投影在直线的投影上，线段上的点分线段之比等于点的投影分线段投影之比, 如图2-4中, 。,图2-4 投影的定比性,(3) 空间互相平行的直线, 其投影仍互相平行, 如图2-5所示, ABCD, abcd。,图2-5 投影的平行性,(4) 当线段或者平面平行于投影面
4、时, 其投影反映原线段的实长或原平面图形的实形。如图2-6所示, 因为ABP及CDEP, 故ab=AB及cdeCDE。,图2-6 投影的实形性,2. 积聚性 当直线、平面、柱面平行于投射方向时, 其投影具有积聚性, 如图2-7所示。,图2-7 线、面投影的积聚性,3. 类似性 当平面与投影面倾斜但不平行投射方向时, 其投影具有类似性。如平面多边形的投影仍为同边数的多边形，平面上圆的投影为椭圆。,2.2 点的投影 点、直线、平面、立体等几何元素中, 点是最基本的元素。因此, 首先研究点的投影。 一、点的三面投影 三个互相垂直的平面把空间分成八个部分, 每个部分称为一个分角, 顺序编号如图2-8所
5、示。 国家标准技术制图中规定物体的图样优先采用第一角画法, 即物体放在第一角内作正投影。国际上的技术文件中, 也有采用第三角画法的图样。,图2-8 三投影面体系,三个互相垂直的平面构成三投影面体系，简称三面体系。三个投影面分别称为水平投影面(H)、正立投影面(V)和侧立投影面(W)。相应的两投影面交线称为投影轴, 三条投影轴的汇交点称为原点, 如图2-8所示。 如图2-9(a)所示，在三投影面体系中, 将第一角内空间点A向三个投影面上作正投影：H面上的投影用a表示，称为点的水平投影； V面上的投影用a表示, 称为点的正面投影；W面上的投影用a表示, 称为点的侧面投影。,为使点的三面投影图绘制在
6、同一平面上，须将OY轴分解成两部分：OYH(在H面内)和OYW(在W面内)。将H面绕OX轴按图2-9(b)中箭头方向旋转到与V面同面，将W面绕OZ轴按图2-9(b)中箭头方向旋转到与V面同面， 最后即得到如图2-9(c)所示点A的三面投影图。 图2-9(c)中, 点A的三个投影a、a、a 来自三个不同的投影平面, 它们经过投影面展开后, 重合在同一个平面V面上。,图2-9 点的三面投影,下面分析点在三投影面体系中的投影规律。 由图2-9(a)可知, 自A向三投影面作投影, 形成以点A为顶点的长方体。投影展开时, aaXOX、aaXOX及aaZOZ、aaZOZ不变，另外，aaX=aaZ；或者在图
7、2-9(b)中, OaYH =OaYW也不变。由此便可得出点在三投影面体系中的投影规律如下： (1) 点的正面投影和水平投影连线垂直于OX轴, 即aa OX。 (2) 点的正面投影和侧面投影连线垂直于OZ轴, 即aa OZ。,(3) 点的水平投影到OX轴的距离, 等于点的侧面投影到OZ轴的距离, 即aaX=aaZ, 或者OaYH=OaYW。 以上是空间任一点的三面投影所必须保持的基本关系。作图时为使aaX=aaZ,可以原点为圆心作圆弧, 或者自原点引45辅助线, 或作等腰直角三角形，如图2-9(c)所示，但同一个图的画法应一致。,二、点的投影与直角坐标的关系 若将三投影面体系当做笛卡尔直角坐标
8、系, 则投影面体系的原点相当于坐标原点, 投影轴相当于坐标轴, 投影面相当于坐标平面, 如图2-10(a)所示。空间点A到W、V、H各投影面的距离即为点A的坐标(x,y,z)。在投影图上, 点A的三个投影a、a、a 也完全可以用坐标确定, 如图2-10(b)所示。因此，有了点的三个坐标(x,y,z), 即可作出点的投影(a,a,a)；有了点的投影(a,a,a), 即可确定它的坐标(x,y,z)。由图2-10(b)可以看出, 点在每个投影面上的投影(如水平投影a)反映了点的两个坐标(如x,y)。点在任两个投影面上的投影反映了点的三个坐标。因此, 有了点的两面投影, 即可作出第三面投影。,图2-1
9、0 点的投影与直角坐标的关系,例2-1 已知点A的两个投影a、a , 求作第三个投影a , 如图2-11(a)所示。 解 作图步骤如下： (1) 由点a 作线垂直于OZ轴, a 在此直线上； (2) 由点a作aaYHOYH, 用画圆弧的方法作aYW点, 自 aYW作线垂直于OYW； (3) 直线aaYW与直线aa的交点a即为点A的侧面投影，如图2-11(b)所示。,图2-11 求作第三个投影,例2-2 已知点A的坐标(15, 8, 12), 求作点A的三面投影。 解 如图2-12(a)所示, 自点O沿X轴向左量取OaX=15 mm, 得aX点。自aX作线垂直于OX， 如图2-12(b)所示；自
10、aX向下量取aaX=8 mm，得点A的水平投影a；自aX向上量取12 mm得a。用画圆弧的方法作出点A的侧面投影a， 如图2-12(c)所示。其中aaYHOYH，aaYWOYW，aaOZ。,图2-12 已知点的坐标求作点的投影,例2-3 已知两点A、B的投影，如图2-13(a)所示，试判断这两点的空间相对位置，并作出两点的轴测图。 解 由图2-13(a)的水平(或正面)投影可以看出，点A比点B的X坐标大，因此点A在点B的左方；由水平(或侧面)投影可以看出，点A比点B的Y坐标大，因此点A在点B的前方；由正面(或侧面)投影可以看出，点A比点B的Z坐标小，因此点A在点B的下方。综合起来，点A在点B的
11、左、前、下方。 用图2-13(b)说明A、B两点的轴测图的作图方法，步骤如下： (1) 作投影轴的轴测图轴测轴。使OX水平，OZ OX，OY平分XOZ。OX向左，OZ向上，OY向前。,(2) 作V面为矩形，H、W面为平行四边形，表示H、V、W的投影面边框可以画成粗线。 (3) 作点的轴测投影图。沿各轴测轴自O点按11比例量取点A及点B的各坐标值，得aX、aY、aZ及bX、bY、bZ， 过它们分别作相应轴测轴的平行线，其交点即为点A和点B的轴测图，如图2-13(b)所示。,图2-13 空间两点的相对位置及轴测投影,三、特殊位置点与重影点的投影 若点在投影面上, 则它的一个坐标为零。如图 2-14
12、中点A在H面上，其Z坐标为零，点A的正面投影及侧面投影分别在OX及OYW轴上。若点在投影轴上，则它的两个坐标为零,读者可自己分析其投影特性。若空间两点的两个坐标相同(另一个坐标不同)，如图 2-14 中B、C两点，则它们在H面上的投影重合成一点，称为B、C的重影点。对于重影点，一般把相应坐标大的点规定为可见，而把坐标较小的点规定为不可见，并用小括号表示。若有多个点重影，则规定只有一个点可见，其余点都不可见。,图2-14 特殊位置点与重影点的投影,2.3 直 线 的 投 影 由2.1节“平行投影的基本性质”可知，直线的投影一般仍为直线。同时又由初等几何可知，两点可以确定唯一一条直线。因此，欲作直
13、线的投影图，只要作出直线上任意两点的投影，然后用直线连接两点的同面投影，即得直线的三面投影。 直线对投影面的位置有三种情况：直线与某一投影面垂直，如图2-15(a)所示，称为投影面垂直线；直线与某一投影面平行并与另两个投影面倾斜，如图2-15(b)所示，称为投影面平行线；直线与三投影面都倾斜，如图2-15(c)所示，称为一般位置直线。在三投影面体系中，直线对H、V、W投影面的倾角，分别用a、b、g表示，如图2-15(c)所示。,图2-15 直线对投影面的相对位置 (a) 投影面垂直线；(b) 投影面平行线；(c) 一般位置直线,一、各种位置直线的投影特性 1. 投影面垂直线 投影面垂直线有三种
14、：垂直于H面的直线称为铅垂线；垂直于V面的直线称为正垂线；垂直于W面的直线称为侧垂线。 现以图2-16(a)所示物体上的铅垂线AB为例，分析其投影特性，如图2-16(c)所示。 (1) 水平投影：由于AB垂直于H面，所以A、B两点在H面上的投影重合，如图2-16(b)所示。在投影图2-16(c)中，其水平投影积聚成一点。,图2-16 铅垂线,(1) 水平投影：由于AB垂直于H面，所以A、B两点在H面上的投影重合，如图2-16(b)所示。在投影图2-16(c)中，其水平投影积聚成一点。 (2) 正面投影：由于AB垂直于H面，故必垂直于OX轴和OY轴，同时必平行于V面和W面，所以其正面投影垂直于O
15、X轴，即abOX，并且ab反映AB实长，即ab=AB。 (3) 侧面投影: 与(2)类似，abOYW，ab=AB。 直线与各投影面夹角分别为：a=90，b=g=0。 正垂线和侧垂线也有类似的投影特性。各种投影面垂直线的投影特性见表2-1。,表2-1 投影面垂直线的投影特性,2. 投影面平行线 投影面平行线有三种：平行于H面并倾斜于V面、W面的直线称为水平线；平行于V面并倾斜于H面、W面的直线称为正平线；平行于W面并倾斜于H面、V面的直线称为侧平线。 现以图2-17(a)所示物体上的水平线AB为例，分析其投影特性，如图2-17(c)所示。 (1) 水平投影：由于AB平行于H面，所以水平投影反映实长，即ab=AB，并且ab与OX轴及OYH轴的夹角反映直线AB对V面及W面的倾角b、g的真实大小，对H面的倾角a为零度。,图2-17 水平线,(2) 正面及侧面投影：正面投影平行于OX轴，即ab OX；侧面投影平行于OYW轴，即abOYW。由于AB对V、W面倾斜，所以正面及侧面投影均小于AB实长，即abAB，abAB。 正平线及侧平线也有类似的投影特性。各种投影面平行线的投影特性见表2-2。,表2-2 投影面平行线的投影特性,3. 一般位置直线 对三个投影面都倾斜(既不平行也不垂直)的直线称为一般位置直线，如图2-18所示。一般位置直线的各面投影都对投影轴倾斜，既不反映空间线段的实长(投
