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1、振动与波动,2015.4.29,机械振动,旋转矢量,描写简谐运动的基本物理量及其关系,A.振幅： A,B.角频率、频率和周期：,C.初相位：,由系统决定角频率：,由初始条件确定 A和 ：,v0的正负号(sin),值,简谐振动的解析描述,简谐振动的能量,速度超前位移/2 相位,加速度超前位移相位,常见的简谐运动,弹簧振子 （水平、垂直）,单摆,复摆,简谐运动的判据,1.动力学判据,受正比、反向的恢复力作用,动力学方程,2. 能量判据,振动系统机械能守恒,3. 运动学判据,相对平衡位置的位移随时间按正余弦规律变化,受正比、反向的恢复力作用,求解简谐运动的方法,A、解析法,B、振动曲线求法,C、旋转
2、矢量求法,D、能量求法,四. 两个同方向不同频率的简谐运动的合成,拍现象,三. 相互垂直的简谐运动的合成,拍频为：,五、相互垂直的不同频率简谐振动的合成,合成轨迹为稳定的闭合曲线李萨如图形,若两频率成简单整数比,若两分振动频率相差很小近似为两同频率的振动合成，合运动轨迹按前面给出的形状依次缓慢变化。,本章基本题型：,1、已知振动方程，求特征参量,2、已知条件（或者振动曲线），建立振动方程,3、证明、判断一个物体的振动是否是简谐振动,4、简谐振动的合成:,动力学判据；能量判据；运动学判据,解析法、旋转矢量法,（振幅、周期、频率、初相位）,机械波,简谐波,波函数的物理意义,波动微分方程,反映了时间
3、和空间的周期 性。,描写波动的物理量及其关系,周期：T 由波源决定 波速：u 由介质决定 波长：,波的能量,能量密度：,平均能量密度：,能流密度：,波的干涉,相干条件：同方向振动，同频率，相位差恒定。,半波损失：波疏波密 入射波在界面处反射时位相发生的突变,1. 水平弹簧振子，弹簧倔强系数 k = 24N/m，重物质量 m = 6kg，重物静止在平衡位置。设以一水平恒力 F = 10N 向左作用于物体 (不计摩擦), 使之由平衡位置向左 运动了 0.05m，此时撤去力 F。当重物运动到左方最远 位置时开始计时，求物体的运动方程。,解：设物体的运动方程为 x = Acos(t + ),恒外力所做
4、的功等于弹簧获 得的机械能，当物体运动到 最左端时，这些能量全部转化为弹簧的弹性势能,m,角频率,物体运动到 A 位置时计时，初相为 = ,所以物体的运动方程为 x = 0.204cos(2 t + ) (m),解：向里为正方向。,2. 质量为M,长为L的均匀细杆可绕通过其一端的固定端O1自由 转动,在离轴 L/ 处有一倔强系数为k的轻弹簧与其相连,弹簧另一端固定在O2,如图所示.开始时系统静止, 杆刚好处于水平位置.现将杆沿顺时针方向绕O1转过一小 角度,然后放手,证明杆作简谐振动,并求其周期.,3. 两个谐振子作同频率同振幅的简谐振动。第一个振 子的振动表达式为 x1= Acos(t +
5、)，当第一个振子从 振动的正方向回到平衡位置时，第二个振子恰在正方 向位移的端点。 (1) 求第二个振子的振动表达式和二者的相差； (2) 若 t =0 时，x1= A/2，并向 x 负方向运动，画出二 者的 x-t 曲线及相量图。,解：(1) 由已知条件画出相量图，可见 第二个振子比第一个振子相位落后 /2， 故 = 2 1 = /2，,第二个振子的振动函数为 x2= Acos(t + + ) = Acos(t + /2),(2) 由 t = 0 时，x1= - A/2 且 v 0，可知 = 2/3，所以 x1= Acos(t + 2/3)， x2= Acos(t + /6),4. 一质点同
6、时参与两个同方向同频率的谐振动，其振动规律为 x1= 0.4cos(3t + /3)，x2= 0.3cos(3t - /6) (SI)。 求：(1) 合振动的振动函数； (2) 另有一同方向同频率的谐振动 x3 = 0.5cos(3t + 3) (SI) 当 3 等于多少时，x1, x2, x3 的合振幅最大？最小？,另法：相量图法,(2) 当 f3 = f = 0.12 时，,当 f3 = f - = -0.88 时，,5. 一质点在x轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过点时作为计时起点（t=0），经过秒后质点第一次经过点，再经过秒后质点第二次经过点，若已知该质点在，两点具有相同的速率，且
7、cm 求：（1）质点的振动方程；（2）质点在点处的速率。,6. 已知 t = 2s 时一列简谐波的波形如图，求波函数及 O 点的振动函数。,7. 一平面 简谐波在介质中以速度u=20m/s自左向右传播，已知在传播路径上的某点的振动方程为y=3cos(4t- ),另一点在右方9m处，(1)若取x轴方向向左，并以点为坐标原点，试写出波动方程，并求出点的振动方程(2)若取x轴方向向右，以点左方5米处的点为x坐标原点，重新写出波动方程及点的振动方程。,(1)波动方程为：,振动方程为：,(2),x,8. 一平面简谐波沿x轴正向传播，振幅为A=10cm，圆频率 =7rad/s，当t=1.0s时，x=10c
8、m处的a质点的振动状态ya=0， （dy/dt)a0；设该波波长10cm，求波的表达式。,9. 振幅为A，频率为，波长为的一简谐波沿弦线传播，在自由端A点反射（如图），假设反射后的波不衰减。已知：OA =7 /8，OB =/2，在t = 0时，x = 0处媒质质元的合振动经平衡位置向负方向运动。求B点处入射波和反射波的合成振动方程。,10. 一平面简谐波沿x正方向传播如图所示，振幅为 A，频率为v, 速率为u. 求 (1) t=0时，入射波在原点o处引起质元由平衡位 置向位移为正的方向运动，写出波表达式 (2) 经分界面反射的波的振幅和入射波振幅相等 写出反射波的表达式，并求在x轴上因入射 波
9、和反射波叠加而静止的各点位置。,解: (1) 由已知条件可写出入射波在O点的振动表达式,入射波的表达式为,(2) 设反射波的表达式为,在P点，入射波的相位为,反射波的相位为,由,得,所以反射波的表达式为,波节位置,因此合成波的表达式,两个相互垂直的不同频率的简谐运动的合成,合成轨迹为稳定的闭合曲线李萨如图,例如左图：,应用：测定未知频率,已知：x =A cos t,求 y=？,例如左图：,作业 5.10,11. 一质量为m = 10 g的物体作简谐振动，振幅为A = 10 cm ,周期T = 2.0 s。若t = 0时，位移x0= - 5.0 cm，且物体向负x方向运动，,试求： （1）t =
10、 0.5 s时物体的位移； （2）t = 0.5 s时物体的受力情况； （3）从计时开始，第一次到达x = 5.0 cm所需时间； （4）连续两次到达x = 5.0 cm处的时间间隔。,【解】,（1）由已知可得简谐振动的振幅,角频率,振动表达式为,(SI),-0.05,由旋转矢量法可得,振动方程,t=0.5s时物体的位移?,（2） t = 0.5 s时物体受到的恢复力? 由（1）得,N/m,(SI),（3）从计时开始，第一次到达x = 5.0 cm所需时间； （4）连续两次到达x = 5.0 cm处的时间间隔。,-0.05,0.05,第一次到达x=5.0cm时的相位为,故 第一次达到此处所需时
11、间为,连续两次到达x = 5.0 cm处的相位差为,12、如图所示的振动曲线。求： （1）简谐振动的运动方程 （2）由状态a运动到状态b，再由b运动到c的时间 分别是多少 （3）状态d的速度和加速度,【解】,方法1 解析法,原点：,c点：,方法2 旋转矢量法,（1）,确定旋转矢量,振动方程为,(SI),（2）由状态a运动到状态b，再由b运动到c的时间分别是多少 （3）状态d的速度和加速度,a,13.劲度系数为k的轻弹簧挂在质量为m，半径为R的匀质圆柱体的对称轴上，使圆柱体作无滑动的滚动，证明：圆柱体的质心作谐振动。,水平面,证明：,建坐标如图，,弹簧原长处为坐标原点，设原点处为势能零点，质心在
12、xc时系统的机械能为,（注意上式中的是刚体转动的角速度）,分析振动系统机械能守恒!,两边对t求导数，得,与动力学方程比较知，物理量xc的运动形式是简谐振动,圆频率,14. 如图所示，S1、S2为同一介质中沿其连 线方向发射平面简谐波的波源，两者相距作同方向、同频率、同振幅的简谐振动，设S1经过平衡位置向负方向运动时, S2恰处在正向最远端，且介质不吸收波的能量。求：,S1和 S2外侧合成波的强度 S1和S2之间因干涉而静止点的位置. 设两列波的振幅都是A0，强度都是I0 。,S1,S2,两列波在干涉点的相位差,解:,(1) 在S1左侧的P点，两列波的波程差,满足干涉条件，所以在S1左侧所有点合成振幅A=0,合成波强度为零,(2) 在S2右侧的P点，两列波的波程差,满足干涉加强条件，所以在S2右侧所有点合成振幅A=2A,合成波强度为4I0,(3) 在S1、S2之间，两列波沿相反方向到达干涉点，设 任意干涉点到S1的距离为x，则r1=x，r2=5/4-x，,在干涉静止点：,
