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1、第 七 章,梁 的 弯 曲 内 力,Shear Forces and Bending Moments,1 弯曲的相关概念,外载荷矢量垂直于杆件轴线时，杆件将产生弯曲变形,以弯曲为主要变形的构件，称为梁,垂直于梁轴线的外力，又均作用在梁的某 个纵向对称面内，则梁的轴线将弯成位于 此对称面内的一条平面曲线，此种弯曲称 为对称弯曲。,梁的类型：,悬臂梁,A,B,外伸梁,简支梁,2.梁的内力计算,A,C,B,0.2m,用截面法分析C处截面的内力:,由整体的平衡方程易求得：,以一假想平面在C处将梁截开，选左段为研究对象,由平衡条件,C截面上一定存在沿铅垂方向的内力，这种与截面平行的内力称为剪力， 以Q表
2、示,可知,由平衡方程确定剪力的大小及实际方向,（C截面上剪力的实际方向向下）,又由平衡条件,由平衡方程确定弯矩的大小及实际方向：,C截面上一定存在另一个内力分量，即力偶,称为弯矩，以M表示。,可知,(一般将所求截面的形心作为力矩平衡方程的矩心),（C截面弯矩的实际方向为逆时针）,剪力与弯矩的符号规定：,因左、右截面上剪力、弯矩的方向一定是相反的 。,故对弯曲内力的符号做如下规定：,有使研究段产生顺时针旋转趋势的剪力为正，反之为负；使保留段产生下凸变形的弯矩 为正，反之为负。,例71图示简支梁，在截面C处受集中力P作用，试求C+及C- 截面上内力。,在C -处，将梁截开，取左部分为研究对象,在截
3、面上，按正向加上剪力与弯矩,解：,由整体的平衡方程可求得约束力为：,由平衡方程,得,1,1,由,得,1,在C +处，将梁截开，取左部分为研究对象,在截面上，按正向加上剪力与弯矩,由平衡方程,2,得,2,由,C,2,得,2,例73一简支梁AB受集度为q的均布载荷作用（图710a）。作此梁的剪力图与弯矩。,解：求支座反力,列剪力方程与弯矩方程 在距A点x处截取左段梁为研究对象， 由平衡方程,得,得,由,由剪力方程及弯矩方程可画出剪力与弯矩图,例74图示简支梁，在截面C处受集中力P作用，试作梁的剪力图与弯矩图。,由平衡方程求支反力：,解：,建立剪力方程与弯矩方程：,AC段： A为原点，在距A点X1处
4、截取左段梁作为研究对象,例74图示简支梁，在截面C处受集中力P作用，试作梁的剪力图与弯矩图。,BC段： B为原点，在距B点X2处截取左段梁作为研究对象,根据平衡条件分别得：,根据AC、BC两段各自的剪力方程与弯矩方程， 分别画出AC、BC两段梁的剪力图与弯矩图。,从剪力图与弯矩图可以看出，在集中力作用处， 其左、右两侧横截面上的弯矩相同，而剪力则发生突变， 突变量等于该集中力之值。,例75图示简支梁，在截面C处受到矩为m的集中力偶作用，试作梁的剪力图与弯矩图。,解：1）计算支反力，由平衡方程求得：,，,2）建立剪力方程与弯矩方程,，,分别于C与C+处将梁截开，分别取左段与右段为研究对象， 并分
5、别以Q1 、M1和Q2、M2代表它们各自的内力，可求得：,据剪力方程及弯矩方程，画剪力与弯矩图。,由内力图可以看出，在集中力偶作用处， 其左右两侧横截面上的剪力相同，但弯 矩发生突变，突变量等于该集中力偶之矩。,4.载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系,用相距dx的两个横截面m-m、n-n从梁中切取一微段进行分析,由平衡方程,得：,由平衡方程,（略去其中的高阶微量）,得：,由（1）、（2）两式又可得：,以上三式即为剪力、弯矩与载荷集度之间的微分关系式。,（1）,（2）, （3）,例76图示外伸梁，集中力F=10KN，均布载荷集度q=10N/cm，试利用剪力、弯矩与载荷 集度的微分关系绘制出梁的剪力图、弯矩图。,解：1)求A处约束力,2)用截面法求各段梁关键截面的内力,得 R=4.75 （KN）,3) 由关键点画剪力图与弯矩图,例77试作出图示外伸梁的剪力图与弯矩图。,解：1）求支反力,2） 用截面法计算CA、AB两段上关键截面的剪力与弯矩,3） 画剪力图与弯矩图,
