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1、2019/2/23,1,第三章 组合逻辑电路,3.1 逻辑代数的基本定律和规则 3.2 逻辑函数及其描述方法 3.3 逻辑函数的化简 3.4 门级组合逻辑电路的分析和设计方法 3.5 常用的组合逻辑单元电路 3.4 单元级组合逻辑电路的设计和分析方法 3.7 组合逻辑电路的竞争和冒险,2019/2/23,2,3.1 逻辑代数的基本定律和规则,一、逻辑代数的基本定律,0-1 律,重叠律,互补律,还原律,分配律,结合律,交换律,2019/2/23,3,反演律,吸收律,3.1 逻辑代数的基本定律和规则,冗余律,在两个乘积项中，若有一个变量是互反的，那么由这两个乘积项中的其它变量组成的乘积项就是多余的
2、，可以消去。,公式可推广：,2019/2/23,4,3.1 逻辑代数的基本定律和规则,求证: A+BC=(A+B)(A+C),证明:,右边=AA+AB+AC+BC ; 分配律,=A +A(B+C)+BC ; 分配律,重叠律,=A(1+B+C)+BC ; 分配律,=A 1+BC ; 0-1律,=A+BC ; 0-1律,=左边,证明:,右边=AA+AB+AC+BC ; 分配律,=A(A+B+C)+BC ; 分配律,=A+BC ; 吸收律,2019/2/23,5,3.1 逻辑代数的基本定律和规则,例：用真值表证明反演律,0 0 0 1 0 1 1,0 1 1 1,1 0 0 0,1 1 0 0,1
3、0 1 0,1 0 0 0,证明:,2019/2/23,6,3.1 逻辑代数的基本定律和规则,；,；分配律,；分配律,；0-1律,= 右边,2019/2/23,7,3.1 逻辑代数的基本定律和规则,证明:,2019/2/23,8,3.1 逻辑代数的基本定律和规则,二、逻辑代数的基本规则,1. 代入规则：,任何一个含有某变量的等式，如果等式中所有出现此变量的位置均代之以一个逻辑函数式，则此等式依然成立。,得,由此反演律能推广到n个变量：,利用反演律,2019/2/23,9,3.1 逻辑代数的基本定律和规则,2. 反演规则：,对于任意一个逻辑函数式 F，做如下处理：,运算符“.”与“+”互换,“”
4、与“”互换;,常量“0”换成“1”，“1”换成“0”；,原变量换成反变量，反变量换成原变量。,那么得到的新函数式称为原函数式F的反函数式 。,2019/2/23,10,3.1 逻辑代数的基本定律和规则,法1：利用反演规则直接得到,法2：利用反演律,2019/2/23,11,3.1 逻辑代数的基本定律和规则,3. 对偶规则：,对于任意一个逻辑函数式 F，做如下处理：,运算符“.”与“+”互换,“”与“”互换；,常量“0”换成“1”，“1”换成“0”；,那么得到的新函数式称为原函数式F的对偶式 F。,对偶规则: 若两逻辑式相等，则它们对应的对偶式也相等。 即 若 F1 = F2 , 则 F1= F
5、2。,注意： 运算顺序不变；,只变换运算符和常量，其变量是不变的。,2019/2/23,12,3.1 逻辑代数的基本定律和规则,如：,2019/2/23,13,3.2 逻辑函数及其描述方法,逻辑函数与普通代数中的函数相似，它是随自变量的变化而变化的因变量。因此，如果用自变量和因变量分别表示某一事件发生的条件和结果，那么该事件的因果关系就可以用逻辑函数来描述。 数字电路的输入、输出量一般用高、低电平来表示，高、低电平也可以用二值逻辑1和0来表示。同时数字电路的输出与输入之间的关系是一种因果关系， 因此它可以用逻辑函数来描述，并称为逻辑电路。对于任何一个电路，若输入逻辑变量A、 B、 C、 的取值
6、确定后，其输出逻辑变量F的值也被惟一地确定了，则可以称F是A、 B、 C、 的逻辑函数， 并记为,3.2.1 逻辑函数,2019/2/23,14,3.2 逻辑函数及其描述方法,3.2.2 逻辑函数的描述,一、真值表描述：,A、B、C - 输入变量 Y - 输出变量 1 表示开关闭合，灯亮 0 表示开关断开，灯不亮,2019/2/23,15,3.2 逻辑函数及其描述方法,二、逻辑式描述：,1.一般形式： 任何一个逻辑函数式都可以通过逻辑变换写成以下五种形式：,分析得：,2019/2/23,16,3.2 逻辑函数及其描述方法,2.逻辑式两种标准形式,1）最小项之和式标准与或式,在n变量逻辑函数中，
7、由所有n个变量以原变量或反变量的形式出现一次而组成的乘积项（与项）。 最小项（Minterm）,n变量逻辑函数的最小项有2n个。最小项通常用符号mi来表示。 下标i的确定：把最小项中的原变量记为1，反变量记为0，当变量顺序确定后，按顺序排列成一个二进制数，则与这个二进制数相对应的十进制数，就是这个最小项的下标i。,在一个与或逻辑式中，若所有的乘积项均为最小项，则该逻辑式称为最小项之和式。,2019/2/23,17,3.2 逻辑函数及其描述方法,只有一种输入组合使对应的最小项为1，而其他的组合都使它为0。,2019/2/23,18,3.2 逻辑函数及其描述方法,例：写出 的最小项之和式。,最小项
8、之和式为：,解：,2019/2/23,19,3.2 逻辑函数及其描述方法,2）最大项之积式标准或与式,在n变量逻辑函数中，由所有n个变量以原变量或反变量的形式出现一次而组成的或项（和项）。 最大项（Maxterm）,n变量逻辑函数的最大项有2n个。最大项通常用符号Mi来表示。 下标i的确定：把最大项中的原变量记为0，反变量记为1，当变量顺序确定后，按顺序排列成一个二进制数，则与这个二进制数相对应的十进制数，就是这个最大项的下标i。,在一个或与逻辑式中，若所有的或项均为最大项，则该逻辑式称为最大项之积式。,2019/2/23,20,3.2 逻辑函数及其描述方法,三变量逻辑函数的最大项,只有一种输
9、入组合使对应的最大项为0，而其他的组合都使它为1。,2019/2/23,21,3.2 逻辑函数及其描述方法,3）最小项和最大项的性质, n变量的全部最小项之和恒为1， 全部最大项的之积恒为0。, 任意两个最小项之积恒为0，任意两个最大项之和恒等于1 。, n变量的每一个最小（大）项有n个相邻项（相邻项是指两个最小项只有一个因子互为反变量，其余因子均相同，又称为逻辑相邻项）。,2019/2/23,22,若给定,则,3.2 逻辑函数及其描述方法,4）最小项和最大项的关系互为反函数,则,求反函数,求对偶式,求最大项之积式,2019/2/23,23,3.2 逻辑函数及其描述方法,解：,2019/2/2
10、3,24,例：写出 的最大项之积式。,解：已知,则,3.2 逻辑函数及其描述方法,2019/2/23,25,3.2 逻辑函数及其描述方法,三、卡诺图描述：,将n变量的全部最小项各用一个小方块表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，所得到的图形叫做n变量的卡诺图（Karnaugh Map）。,1.卡诺图的构成,A B,0 0,0 1,1 0,1 1,m0,m1,m2,m3,A,B,A,B,1,0,1,0,m0,m1,m2,m3,mi,AB,二变量K图,建立多于二变量的卡诺图，则每增加一个逻辑变量就以原卡诺图的右边线（或底线）为对称轴作一对称图形，对称轴左面（或上面）原数字前
11、增加一个0，对称轴右面（或下面）原数字前增加一个1。,2019/2/23,26,卡诺图是上下，左右闭合的图形。,3.2 逻辑函数及其描述方法,几何相邻： 一是相接，即紧挨着； 二是相对，即任意一行或一列的两端； 三是相重，即对折起来位置重合。,三变量K图,四变量K图,2019/2/23,27,3.2 逻辑函数及其描述方法,2.卡诺图描述逻辑函数, 给出真值表,将真值表的每一行的取值填入卡诺图即可。填入Y1的项即可。,例：,0,0,0,1,0,1,0,1,1,1,1,2019/2/23,28,3.2 逻辑函数及其描述方法, 给出逻辑函数的最小项之和式标准与或式,将逻辑函数的最小项在卡诺图上相应的
12、方格中填1； 其余的方格填0(或不填)。 任何一个逻辑函数都等于其卡诺图上填1的那些最小项之和。,例：用卡诺图分别描述下列逻辑函数,解：,2019/2/23,29,3.2 逻辑函数及其描述方法, 给出逻辑函数一般与或式,确定使每个与项为1的所有输入变量取值，并在卡诺图上对 应方格填1； 其余的方格填0(或不填)。 也可化为标准与或式，再填入。,例：用卡诺图分别描述下列逻辑函数,A,BC,0,1,00,01,11,10,1,1,1,1,1,解：,A：当ABC=1(表示可以为0，也可以为1)时该与项为1，在卡诺图上对应四个方格(m4，m5，m6，m7)处填1。,：当ABC=10时该与项为1，在卡诺
13、图上对应两个方格(m2，m6)处填1。,2019/2/23,30,3.2 逻辑函数及其描述方法,00,01,11,10,00,01,11,10,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,AB,CD,D ： 当ABCD=1时该与项为1， 对应八个方格(m1、m3、m5、m7、m9、m11、m13、m15)处填1。,：当ABCD=001时该与项为1， 对应两个方格(m2、m3)处填1。,：当ABCD=101时该与项为1，在卡诺图上对应两个方格(m10、m11)处填1。,解：,AD ：当ABCD=11时该与项为1， 对应四个方格(m9、 m11、m13、m15)处填1。,某些最小项重复，只需填一次即可
14、。,2019/2/23,31,3.2 逻辑函数及其描述方法, 给出逻辑函数的最大项之积式标准或与式,将逻辑函数的最大项在卡诺图上相应的方格中填0（或不填）； 其余的方格填1。 任何一个逻辑函数都等于其卡诺图上填1的那些最大项之积。,例：用卡诺图描述逻辑函数,解：,2019/2/23,32,3.2 逻辑函数及其描述方法, 给出逻辑函数一般或与式,确定使每个或项为0的所有输入变量取值，并在卡诺图上对 应方格填0； 其余的方格填1。 也可化为标准或与式，再填入。,例：用卡诺图分别描述逻辑函数,A,BC,0,1,00,01,11,10,0,0,0,0,1,0,1,1,解：,A：当ABC=0(表示可以为
15、0，也可以为1)时该或项为0，在卡诺图上对应四个方格(m0，m1，m2，m3)处填0。,：当ABC=01时该与项为0，在卡诺图上对应两个方格(m1，m5)处填0。,2019/2/23,33,3.2 逻辑函数及其描述方法,四、逻辑图描述：,将逻辑函数中各变量之间的与、或、非等逻辑关系用图形符号表示出来，就可画出表示函数关系的逻辑图。,例：用逻辑图描述函数,2019/2/23,34,1. 从真值表、卡诺图列出逻辑函数式,找出真值表和卡诺图中取值为“1”的最小项； 各与项相或，即得与或逻辑函数式；,3.2 逻辑函数及其描述方法,五、各种描述方法间的相互转换,例：,2019/2/23,35,2. 从逻辑函数式列出真值表,3.2 逻辑函数及其描述方法,2019/2/23,36,3. 从逻辑函数式画出逻辑图,3.2 逻辑函数及其描述方法,用图形符号代替逻辑式中的运算符号。,例：用逻辑图描述逻辑函数,2019/2/23,37,4. 由逻辑图列出逻辑函数式,3.2 逻辑函数及其描述方法,从输入端到输出端逐级写出每个图形符号对应的逻辑式，即可得到对应的逻辑式。,例：,2019/2/23,38,3.3 逻辑函数的化简,同一个逻辑函数可以写成不同形式的逻辑式，逻辑函数式越简单，它所表示的逻辑关系越明显，也有利于用最少的电子器件实现这个
