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1、,2.3.1 双曲线及其标准方程,复习回顾,椭圆是如何定义的?其标准方程是什么?,思考,与两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆,那么与两定点的距离的差是非零常数的点的轨迹是什么样的曲线呢?,动手实践,这两条曲线合起来叫作双曲线,每一条叫作 双曲线的一支.,双曲线定义： 一般地,平面内与两个定点，距离的差的绝对值等于常数（小于 ）的点的轨迹叫做双曲线，两个定点,叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距,M,F2,F1,双曲线在实际生活中有广 泛的应用,如热电厂的冷却 塔的外形与轴截面的交线 等等.,分析推导,MF1-MF2=2a(02aF1F2),x,o,M,y,F2,F1,1. 建系设
2、点;,2. 写出适合条件的点M的集合；,3. 用坐标表示条件，列出方程；,4. 化简.,求曲线方程的步骤：,方程的推导,(-C,0),(C,0),(x,y),将上述方程化为：,移项两边平方后整理得：,两边再平方后整理得：,由双曲线定义知：,即：,设,代入上式整理得：,F（c，0）,F（c，0）,a0，b0，但a不一定大于b，c2=a2+b2,ab0，a2=b2+c2,|MF1|MF2|=2a,|MF1|+|MF2|=2a,F（0，c）,F（0，c）,双曲线与椭圆之间的区别与联系：,例题讲解,例2 已知双曲线的焦点在y轴上,并且双曲线上的两点P1(3, ),P2( ,5),求双曲线的标准方程.,
3、分析 已知双曲线焦点的位置,可知双曲线标准方程的形式,利用曲线上的点,其坐标满足方程,从而建立a,b的方程,求出a,b.,解 因为双曲线的焦点在y轴上,所以设标准方程为,因为P1,P2在双曲线上 所以,解得,a2=16,b2=9,所以所求双曲线方程为,设有定点F1(3,0)和定圆F2：(x+3)2+y2=16,今有一动圆M和定圆F2外切,并且过点F1,求动圆圆心M的轨迹方程.,分析 因为圆心与圆上一点的距离是半径,又两圆外切有半径和为圆心距,可知|MF2|-|MF1|=4,从而有M的轨迹是双曲线的一部分.,解 设动圆M的半径为r, 因为圆M过F1,所以|MF1|=r, 又因为圆M与圆F2外切,所以|MF2|=4+r. 从而有|MF2|-|MF1|=4 由双曲线的定义知M的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线的一部分.又F1(3,0)F2(-3,0). 所以c=3,a=2,故b2=5 所以M的轨迹方程是,课堂练习,| MF1-MF2 | =2a（ 2aF1F2）,F ( c, 0) F(0, c),小 结,
