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1、,2.1 电阻串联、并联和混联的等效变换 2.2 电阻星形连接与三角形连接的等效互换 2.3 含独立电源网络的等效变换 2.4 含受控电源网络的等效变换 习题2,第2章 简单电阻电路分析,2.1 电阻串联、并联和混联的等效变换 电路的等效变换就是把电路的一部分用结构不同但端子数和端子上VCR完全相同的另一部分电路来代替，替代后对剩余部分电路而言，其作用效果不变。这两部分电路互称为等效电路。互为等效的两个电路只对外部电路和等效，即对端口等效，对内不等效。例如，若图2-1所示两个二端网络N1和N2的端口伏安关系完全相同，则N1和N2这两个二端网络就等效。在电路分析中若将N1和N2互换，则互换前后与
2、它们连接的相同外电路中的电压、电流和功率分布不变。,图2-1 等效电路的概念,2.1.1 电阻的串联 在电路中若把n个电阻首尾相连，且在各联结点上没有分支，即通过各电阻的电流是同一电流，这种联接方式称为串联，如图2-2(a)所示。,图2-2 电阻的串联及其等效电阻 (a) 电阻的串联；(b) 等效电阻,对于图2-2(a)所示n个电阻的串联电路，设电路中各电压、电流的参考方向如图中所示，则由基尔霍夫电压定律及欧姆定律，得 u=u1+u2+uk+un=R1i+R2i+Rki+Rni =(R1+R2+Rk+Rn)i (2-1) 若令 (2-2),则式(2-1)可写成 u=Reqi (2-3) 式(2
3、-3)表明，对于对外端子上的电压和电流而言，由R1，R2，Rn这n个电阻相串联的支路可以用一个电阻Req来替代，如图2-2(b)所示。显然图2-2(a)和(b)在对外端子上有相同的伏安关系，因此称图(b)为图(a)的等效电路，它们可互为等效替换，并称Req为R1，R2，Rn这n个电阻相串联以后的等效电阻。式(2-2)说明n个电阻串联时的等效电阻等于这n个串联电阻之和。,串联电阻在电路中起分压作用。如图2-2(a)所示电路，由于通过各个电阻元件的电流相同，故有 (2-4),由式(2-4)进一步可得任意串联电阻Rk上的电压为 (2-5) 式(2-5)称为串联电阻的分压公式。式(2-4)、式(2-5
4、)表明串联电阻电路中各个电阻上的电压与其电阻值成正比，电阻越大，分配到的电压就越大。,将式(2-2)两边同乘i2，得 即 p=p1+p2+pk+pn (2-6) 式(2-6)表明n个电阻串联，等效电阻上消耗的功率等于每个串联电阻消耗的功率之和，电阻越大，消耗的功率越大。,例2-1 图2-3所示为一个分压电路，已知RW是1000 电位器，且R1=R2=300 ，u1=16 V。试求输出电压u2的数值范围。 解 当电位器的滑动触头移至b端时，输出电压u2为,当电位器的滑动触头移至a端时，输出电压u2为 所以，通过调节电位器RW，可使输出电压u2在313 V范围内连续变化。,图2-3 例2-1图,2
5、.1.2 电阻的并联 在电路中，若把n个电导两端分别连接在一起，跨接在同一电压上，则这种联接方式称为并联，如图2-4(a)所示。,图2-4 电阻的并联及其等效电导 (a) 电阻的并联；(b) 等效电导,在图2-4(b)所示电压、电流参考方向下，由基尔霍夫电流定律及欧姆定律得 i=i1+i2+ik+in=G1u+G2u+Gku+Gnu =(G1+G2+Gk+Gn)u (2-7) 若令 (2-8) 则式(2-7)可写成 i=Gequ (2-9),式(2-9)表明，对于对外端子上的电压和电流而言，由G1，G2，Gn这n个电导相并联的支路可以用一个电导Geq来替代，如图2-4(b)所示。显然图2-4(
6、a)和(b)在对外端子上有相同的伏安关系，因此称图(b)为图(a)的等效电路，它们可互为等效替换，并称Geq为G1，G2，Gn这n个电导相并联以后的等效电导。式(2-8)说明n个电导并联时的等效电导等于这n个并联电导之和。,并联电导在电路中起分流作用。如图2-4(a)所示电路，由于各个电导元件两端的电压相同，故有 (2-10),由式(2-10)可进一步得任意并联电导Rk上的电流为 (2-11) 式(2-11)称为并联电导的分流公式。式(2-10)、式(2-11)表明并联电导电路中各个电导上的电流与其电导值成正比，电导越大，分配到的电流就越大。,将式(2-8)两边同乘u2，得 即 p=p1+p2
7、+pk+pn (2-12) 式(2-12)表明n个电导并联，等效电导上消耗的功率等于每个并联电导消耗的功率之和，电导越大，消耗的功率越大。,如图2-5所示，当只有两个电阻并联时，由式(2-8)得 故两个电阻并联时，其等效电阻为 (2-13),且由式(2-11)得电阻R1、R2上的电流分别为 (2-14),图2-5 两个电阻并联,例2-2 试分别计算以下三对并联电阻的等效电阻Req。 (1) R1=300 ，R2=600 ； (2) R1=R2=R=100 ； (3) R1=10 ，R2=10 k。,解 由式(2-13)可得 (1) (2) (3),由以上计算结果可以看出： (1) 等效电阻Re
8、q的值小于并联电阻中最小的电阻值。 (2) 当R1=R2=R时，则等效电阻Req=R/2。 将该结论进一步推广：若n个阻值均为R的电阻并联，则并联等效电阻Req=R/n。 (3) 若R1R2，则等效电阻ReqR1。,2.1.3 电阻的混联 既有电阻串联又有电阻并联的电路称为混联电阻电路。在混联的情况下，需要仔细判别电阻间的联接方式，有时只有将电路改画后才能看出电阻间的联接方式。判别电阻间联接方式的依据是：电阻串联时，通过各电阻的电流为同一电流；而电阻并联时，加于各电阻两端的电压为同一电压。 可逐步利用电阻的串联、并联等效变换，以及分压、分流公式来实现对混联电路的分析。下面通过具体例题来熟悉串、
9、并联等效变换在混联电路分析中的应用。,例2-3 试求图2-6(a)所示电路a、b端的等效电阻Rab。 解 为了便于观察各电阻的联接方式，首先将图(a)改画成图(b)所示电路，再由图(b)逐步等效化简成图(c)、图(d)所示电路。由图(d)得,图2-6 例2-3图,例2-4 试求图2-7所示电路中各支路的电压与电流。 解 本题可利用电阻的串、并联等效化简的方法求解。 首先运用串、并联等效变换将图(a)自右至左逐步化简成图(b)、(c)、(d)所示电路。由图(d)得,图2-7 例2-4图,根据分流公式，由图(c)可求得 根据分压公式，由图(b)可求得,根据分流公式及基尔霍夫电压定律，由图(a)可分
10、别求得,2.2 电阻星形连接与三角形连接的等效互换 在前面几节我们介绍了电阻的串联和并联，但是在电路分析中，有时会遇到电阻既非串联连接又非并联连接的电路，如图2-8(a)所示的电桥电路便是一个简单例子，此时不能直接应用电阻串、并联等效变换的方法进行化简。但是若把图2-8(a)所示电路中电阻R1、R2、R5的连接方式等效变换成图2-8(b)所示电路中电阻R6、R7、R8的连接方式，那么电路就可以用串、并联等效变换的方法进行进一步化简。,图2-8 电桥电路的等效变换 (a) 电桥电路；(b) 等效电路,在电路中，三个电阻元件如果是首尾相连构成一个三角形，并从联结点引出线与外电路相连，电阻的这种连接
11、方式称为三角形连接，简称形连接或形连接，如图2-8(a)所示电路中电阻R1、R2、R5的连接方式；如果将三个电阻元件的一端连在一起，另一端分别引出线与外电路相连，电阻的这种连接方式称为星形连接，简称Y形连接或T形连接，如图2-8(b)所示电路中电阻R6、R7、R8的连接方式。三角形连接和星形连接都是通过三个端子与外电路相连，因此它们之间的等效变换是一个三端网络的等效变换问题。,由2.1节介绍知，两个三端网络等效，相应有三个电压与三个电流之间的关系必须相同。又根据KCL，三个端子电流仅有两个是独立的；根据KVL，三个端对电压也仅有两个是独立的。因此对于图2-9所示的电阻星形连接和三角形连接的电路
12、，如果它们对应的i1、i2、u13、u23的关系完全相同，则这两个三端网络就等效。,图2-9 电阻星形连接与三角形连接的等效互换 (a) 电阻星形连接；(b) 电阻三角形连接,下面推导电阻星形连接和三角形连接的相互等效变换公式。 对于图2-9(a)，有 (2-15) 对于图2-9(b)，有 -(i1-i12)R31+R12i12+(i2+i12)R23=0 得,因此有 (2-16),式(2-15)和式(2-16)分别表示Y形网络和形网络的VCR。若这两个网络等效，就意味着式(2-15)和式(2-16)应完全相同，因此有 (2-17),由式(2-17)可解得 (2-18),式(2-18)即为由三
13、角形连接等效变换为星形连接的公式，其中三式可概括为,由式(2-17)可解得 (2-19),式(2-19)即为由星形连接等效变换为三角形连接的公式，其中三式可概括为 若星形连接的三个电阻都相等，即R1=R2=R3=RY，则等效的三角形连接的电阻也相等，有R12=R23=R31=R，并有如下关系： R=3RY (2-20) (2-21),例2-5 求图2-10(a)所示电路的等效电阻Rab。 解 首先将图(a)中R1、R2、R3组成的三角形电路等效变换成图(b)中Ra、Rb、Rc组成的Y形电路，其中,图2-10 例2-5图,由图(b)，利用电阻串、并联等效变换的方法求得等效电阻Rab为 Rab=Ra+(Rb+8)(Rc+6) =1.5+4.5=6 ,2.3 含独立电源网络的等效变换 前面两节介绍了无源电阻网络的等效化简，本节将介绍含独立电源二端网络的等效变换。,2.3.1 独立电源的串联 1. 电压源的串联 图2-11(a)所示n个电压源的串联可用图2-11(b)
