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1、,第4章 模态综合,4.1 引言,前面讨论的属于比较简单的弹性体振动系统，可以通过离散化为简单多自由度系统，再利用模态分析法，从而得到问题的解析解。 对于稍微复杂的振动系统，想要利用模态分析法得到其解析解不那么容易，至于复杂的振动结构，求解析解几乎就是不可能的。 对于稍微复杂的振动系统，建立其离散模型，寻求其振动问题的近似解，则有着现实意义和工程意义。 最简单的离散化方法有集中质量法和假设模态法，在此基础上，发展了一些更为有效的方法：模态综合法和FEM。,第4章 模态综合,4.2 集中质量法,集中质量模型早先从那些物理参数分布很不均匀或相对集中的实际系统中抽象出来的。如小麦、冰糖葫芦、高楼、变
2、截面转轴（阶梯轴）。 我们把那些惯性相对大而弹性极微弱的子结构看做集中质量，而把那些惯性相对小而弹性极为显著的子结构看做无质量的弹簧，从而得到集中质量模型。 后来再把此方法推广应用于均匀或近乎均匀的弹性体上。把结构人为地划分为若干个单元，把每一个单元的分布质量按静力学平行力分解原理分配到单元的两端点。,第4章 模态综合,4.2 集中质量法,这样便把结构离散为具有若干集中质量的有限自由度系统。集中质量间的连接刚度仍与原结构的相应刚度相同。 离散过程如图所示,第4章 模态综合,4.2 集中质量法,至于单元取多少合宜，得视具体问题而言。 例如 对于如图所示简支梁，求其固有频率。,如图将其一分为二，采
3、用集中质量法，可以相当准确地求出一阶固有频率。,第4章 模态综合,4.2 集中质量法,如图将其一分为4，采用集中质量法，可以相当准确地求出前3阶固有频率。,第4章 模态综合,4.3 模态综合法,1 模态综合概述 假设模态法（利用假设振型来求系统近似特征值的方法：Rayleigh、 Ritz）。也适用于较复杂结构的振动分析，但实际上，难以找到整体结构的假设模态。 为了克服这一困难，设法把一个复杂结构分解为若干个较简单的子结构。对于这些子结构，较易找到它们的真实模态或假设模态。然后根据在对接面上的位移、内力协调条件，把这些子结构装配成总体结构。 这样就可以用各个子结构的真实或假设模态来综合总体结构
4、的近似振动模态。即模态综合法。,第4章 模态综合,4.3 模态综合法,模态综合法的基本思想：利用各种降阶技术，缩减系统的自由度。 模态综合法的目的：建立一个自由度大大缩减了的动力学模型，而又在所研究问题的范围内逼真地代替实际系统。 模态综合技术的基本步骤有四步 ，如下框所示。,1 分割,2 分析,3 综合,4 还原,第4章 模态综合,4.3 模态综合法,（1）分割总系统 按照结构的几何轮廓或子结构的自然组合情况人为地分割成若干子结构。这种分割尽量顾及子结构来自不同的生产单位和独立进行计算、实验上的方便。 分割以后，除了整体结构原有的外部边界外，还出现了子结构之间被分割的内部边界（界面）。将子结
5、构的自由度划分为界面自由度和内部自由度。,第4章 模态综合,4.3 模态综合法,（2）子结构模态分析 模态综合法的优点在于对从整体分割出来各子结构独立地进行模态分析，而后得到整系统的动力特性。 这里的模态通常包括低阶主模态和约束模态（某些约束作用下的振型）等。任何一种模态综合技术都是要略去高阶主模态而只保留低阶主模态以达到系统自由度的大大缩减。 子结构的模态分析是模态综合技术中最重要的步骤。采用不同的主模态和约束模态构成了各种不同的模态综合法（固定界面法、自由界面法、分支模态法）。,第4章 模态综合,4.3 模态综合法,（3）综合子结构而成整系统方程并求解 在完成各子结构模态分析的基础上，将来
6、自各子结构模态信息，按照各子结构间的内力、位移协调条件装配成系统方程。这种装配过程类似于有限元法中在单元分析基础上从局部（单元）到整体的转换（装配）过程。 在大大缩减自由度后获得整系统的缩聚（缩减）方程，求解方程并无特殊（前面介绍的实、复模态分析方法）。,第4章 模态综合,4.3 模态综合法,（4）再现子结构详情 由于实际问题感兴趣的是物理坐标中的振动特性，因此必须由模态坐标返回各子结构的物理坐标，以得到实际结构的主振型和位移等响应。,总系统的模态响应,子结构的模态响应,子结构的物理响应,第4章 模态综合,4.3 模态综合法,2 固定界面法 也称为子结构模态综合法。有两种类似但局部有区别的方法
7、：Hurty法和Craig法。 Hurty等人提出的固定界面法的基本思想为：各子结构间界面作为固定约束，即界面坐标为0，由计算或实验得到主模态与内部坐标相对应，并定义一组刚体模态（结构不产生任何弹性变形的运动模态）和约束模态和界面坐标相对应，通过界面坐标建立各子结构之间的位移协调条件。 上面的三类模态构成完备的模态集，作为总系统的假设模态。略去高阶主模态使系统的自由度得到缩减。,第4章 模态综合,4.3 模态综合法,2 固定界面法 Craig等人提出的固定界面法的基本思想与上面Hurty提出的固定界面法基本相同，只是定义一组包括刚体模态和约束模态在内的约束模态，即不区别刚体模态和约束模态而统一
8、称为约束模态。其模态列数与界面自由度数相同。处理问题较方便，但是若不区分，有时会出现病态的刚度矩阵。 主模态和约束模态构成完备的模态集，作为总系统的假设模态。略去高阶主模态使系统的自由度得到缩减。 下面主要介绍Craig等人提出的固定界面法的思路和步骤。,第4章 模态综合,4.3 模态综合法,设所研究的子结构，其分块自由运动微分方程（无阻尼）为 ：,其中xi为内部位移（非界面位移）， xj为界面位移。,下面来定义三类模态集：,(1) 固定界面主模态YN,第4章 模态综合,4.3 模态综合法,(1) 固定界面主模态YN 在界面完全固定下，即,代入下述方程,得：,第4章 模态综合,4.3 模态综合
9、法,(1) 固定界面主模态YN,由此方程的特征方程求得的主振型即为固定界面主模态YN。假设模态已经正则化。,模态综合时保留低阶主模态Yl而忽略高阶主模态Yh 。,第4章 模态综合,4.3 模态综合法,(1) 固定界面主模态YN,以如图所示悬臂梁为例（划分为两子结构），来说明固定界面主模态的物理意义。,第4章 模态综合,4.3 模态综合法,(2) 刚体模态Yg,当子结构界面全部放松，即不加任何约束，该子结构在处于不完全约束情况或无外界约束，对应于刚体运动的自由度的位移，即刚体模态Yg 。,还以上图所示悬臂梁为例来说明刚体模态的物理意义。,第4章 模态综合,4.3 模态综合法,(2) 刚体模态Yg
10、,当界面自由时，子结构1并无刚体运动，即不存在刚体模态，而子结构2存在如下图所示的两种刚体运动形式：,第4章 模态综合,4.3 模态综合法,(3) 约束模态Yc,在取得上述子结构的刚体模态后，固定全部界面，通常子结构成为静不定系（超静定），而后逐个释放界面的赘余度（超静定次数），即分别使界面的赘余自由度产生单位位移而得到的各组静态位形，构成约束模态 Yc 。,还以上图所示悬臂梁为例来说明约束模态的物理意义。,第4章 模态综合,4.3 模态综合法,(3) 约束模态Yc,界面固定后，子结构2为静定结构（3未知数，3方程），存在上面的刚体模态，而无约束模态；而子结构1为超静定结构，存在如下图所示的约
11、束模态：,第4章 模态综合,4.3 模态综合法,(3) 约束模态Yc,约束模态的计算，可由方程,的静力形式,可得：,第4章 模态综合,4.3 模态综合法,(3) 约束模态Yc,可得：,界面固定后，子结构无刚体自由度，即,存在。，故有：,第4章 模态综合,4.3 模态综合法,(3) 约束模态Yc,将xj依次取其中第l个元素为1，其余为零，代入上述方程，即可求解相应的约束模态（可能包括刚体模态），很明显总的模态矩阵Yc 为：,第4章 模态综合,4.3 模态综合法,上面的主模态及约束模态构成完备的模态集，作为总系统的假设模态。略去主模态的高阶Yh，只保留低阶主模态Yl，从而使系统的自由度得到缩减。
12、子结构物理坐标和模态坐标有如下的变换关系：,若不略去高阶主模态，那么Y是完备的模态集。这样的变换可以获得相对较精确的结果，但没有达到缩减自由度的目的。为此略去高阶，引入以下的变换,第4章 模态综合,4.3 模态综合法,此变换的意义，此变换实质上只有以下的坐标变换关系：,第4章 模态综合,4.3 模态综合法,将上述变换代入子结构微分方程,再左乘YT，可得缩减后的方程：,第4章 模态综合,4.3 模态综合法,界面坐标具有双重意义，既是物理坐标，也可看成模态坐标，它作为子结构之间必须满足位移协调的公共坐标，从而把子结构的运动方程耦合成整系统的方程（综合）。 即可得到如下的整系统的自由振动方程：,第4
13、章 模态综合,4.3 模态综合法,下面以两子结构为例进行说明，两子结构的缩聚方程分别为：,整系统的位移列阵为：,第4章 模态综合,4.3 模态综合法,界面需要满足的位移和力协调条件为：,对于子结构1，引入如下变换,再左乘R(1)T即可将其运动方程转换到整体方程。 同理，可完成子结构2的转换。,第4章 模态综合,4.3 模态综合法,最后可得到整系统的固有振动方程：,其中的质量和刚度矩阵如下：,第4章 模态综合,4.3 模态综合法,下面以两子结构为例进行说明一般情况的综合，设子结构1的振动方程为：,其中f（1）、r（1）分别为界面力和外力。 引入模态变换：,得：,第4章 模态综合,4.3 模态综合法,根据界面需要满足的位移和力协调条件对于子结构1，引入如下变换,再左乘R(1)T即可将其运动方程转换到整体方程。,同理，对于子结构2可得到转换到整体系统的方程，再组合或装配这些方程，得到减缩自由度后的总方程：,第4章 模态综合,4.3 模态综合法,示例1：如图所示两端铰支等截面均质梁，对称划分为两个子结构，每个子结构有11个节点，33个自由度（4个原有约束自由度和3个界面自由度）。,每个子结构取3个主模态和3个约束模态。系统独立的广义坐标数为9：用模态综合法计算的固有频率和解析截之比较如下表：,第4章 模态综合,4.3 模态综合法,
