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1、2019/2/22,1,第七章 方差分析,一、方差分析的内容 二、方差分析的有关术语及假设 三、方差分析的原理 四、单因素方差分析 五、双因素方差分析 六、关系强度的测量 七、用Excel进行方差分析 重点：方差分析的方法 难点：方差分析的基本思想,2019/2/22,2,方差分析（Analysis of Variance, ANOVA)是假设检验的一种延续与扩展，它可以解决诸如多个总体均值是否相等等方面的检验问题，在因素分析中具有一定的优势。方差分析主要用来对多个总体均值是否相等作出假设检验，研究分类型自变量对数值型因变量的影响 。 例：某饮料制造商生产一种新型饮料，共有四种颜色： (1)橘
2、黄、(2)粉红、(3)绿色、(4)无色。 该制造商想知道颜色是否对销售量有显著影响，随机抽取了5家超市前一期的销售量（表1）进行分析。,一、方差分析的内容,2019/2/22,3,一、方差分析的内容,结果观后返回,2019/2/22,4,其中， i(I=1,2,3,4) 表示所有饮料（无色、粉红、橘黄、绿色）销售量之均值。,要知道颜色是否对饮料销售有显著影响，就是要知道四种颜色饮料销售量的均值是否有显著差异，即进行下述假设检验：,H0: 1=2=3=4 H1: 四个总体均值不全相等,一、方差分析的内容,2019/2/22,5,1、相关术语 因素或因子：是一个独立的变量，是方差分析的研究对象 （
3、例中饮料的颜色）；,单因素方差分析：只针对一个因素进行分析； 多因素方差分析：同时针对多个因素进行分析。,水平或处理：因子的不同表现 （例中饮料的四种不同颜色：无色、粉红、橘黄色、绿色 ）；,二、方差分析的有关术语及假设,2019/2/22,6,试验 收集样本数据的过程。这里若只考虑颜色一个因素，则可称为单因素四水平的试验 总体 因素的每一个水平可以看作是一个总体 比如A1、A2、A3、 A4四种颜色可以看作是四个总体 样本数据 上面的数据可以看作是从这四个总体中抽取的样本数据,相关术语,二、方差分析的有关术语及假设,2019/2/22,7,2、进行方差分析必须满足如下假设,（1）每个总体都应
4、服从正态分布 （2）各个总体的方差2必须相等 （3）不同观测值是独立的（每个样本点的取值不影响其他样本点的取值）,样本来自于一 个相同的总体,样本来自于不同的总体,二、方差分析的有关术语及假设,2019/2/22,8,分析可知，四种颜色饮料销售量的差异主要来自以下两个方面： 随机误差：在因素的同一水平(同一个总体)下，样本的各观察值之间的差异。比如，同一种颜色的饮料在不同超市上的销售量是不同的，不同超市销售量的差异可以看成是随机因素的影响，或者说是由于抽样的随机性所造成的，称为随机误差。 系统误差：在因素的不同水平(不同总体)下，各观察值之间的差异。比如，同一家超市，不同颜色饮料的销售量也是不
5、同的，这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的，也可能是由于颜色本身所造成的，后者所形成的误差是由系统性因素造成的，称为系统误差。,三、方差分析的原理,2019/2/22,9,数据的误差用平方和(sum of squares)表示,1.组内平方和(within groups) 因素的同一水平下数据误差的平方和 比如，无色饮料A1在5家超市销售量的误差平方和 只包含随机误差 2.组间平方和(between groups) 因素的不同水平之间数据误差的平方和 比如，A1、A2、A3、A4四种颜色饮料销售量之间 的误差平方和 既包括随机误差，也包括系统误差,三、方差分析的原理,2019/2/22,10
6、,两类方差 组内方差(MSE) 因素的同一水平(同一个总体)下样本数据的方差 比如，无色饮料A1在5家超市销售数量的方差 组内方差只包含随机误差 组间方差(MSA) 因素的不同水平(不同总体)下各样本之间的方差 比如，A1、A2、A3、A4四种颜色饮料销售量之间的方差 组间方差既包括随机误差，也包括系统误差,三、方差分析的原理,2019/2/22,11,方差比较,若不同颜色对销售量没有影响，则组间方差中只包含随机误差，没有系统误差。这时，组间方差与组内方差的数值就应该很接近，它们的比值就会接近1 若不同颜色对销售量有影响，在组间方差中除了包含随机误差外，还会包含系统误差，这时组间方差的数值就会
7、大于组内方差的数值，它们之间的比值就会大于1 当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平之间存在着显著差异，也就是自变量对因变量有影响 所剩问题归结为：比值多大，才能拒绝原假设。 可通过计算F统计量进行F检验来判断。,三、方差分析的原理,2019/2/22,12,观察值之间的差异来自两个方面：,某因素不同水平的影响 （系统性影响）,其他随机因素的影响 （随机性影响）,水平间方差 （组间方差）,水平内方差 （组内方差）,小结：,如果原假设成立：说明某因素不同水平的影响不显著（无系统性影响），只剩下随机性影响，因此组间方差与组内方差差别不大，它们的比接近于1。 如果原假设不成立：说明某因素不同水平
8、的影响显著（存在系统性影响），组间方差与组内方差差别较大，它们的比远超出1。,三、方差分析的原理,2019/2/22,13,（一）单因素方差分析的数据结构 (one-way analysis of variance),四、单因素方差分析,2019/2/22,14,（二）分析步骤 1、提出假设 2、构造检验统计量 3、统计决策,四、单因素方差分析,2019/2/22,15,1、提出假设,一般提法 H0 ： m1 = m2 = mk 自变量对因变量没有显著影响 H1 ： m1 ，m2 ， ，mk不全相等 自变量对因变量有显著影响 注意：拒绝原假设，只表明至少有两个总体的均值不相等，并不意味着所有的
9、均值都不相等,2019/2/22,16,构造检验统计量需要计算 （1）水平的均值 （2）全部观察值的总均值 （3）误差平方和 （4）均方(MS) （5）检验统计量F,2、构造检验的统计量,2019/2/22,17,假定从第i个总体中抽取一个容量为ni的简单随机样本，第i个总体的样本均值为该样本的全部观察值总和除以观察值的个数 计算公式为,式中： ni为第 i 个总体的样本观察值个数 xij 为第 i 个总体的第 j 个观察值,（1）计算水平的均值,2019/2/22,18,全部观察值的总和除以观察值的总个数 计算公式为,（2）计算全部观察值的总均值,前例计算结果,2019/2/22,19,总误
10、差平方和（sum of squares for total, SST）,全部观察值 与总平均值 的离差平方和 反映全部观察值的离散状况 其计算公式为,（3）计算误差平方和,前例的计算结果： SST = (26.5-28.695)2+(32.8-28.695)2 =115.93,2019/2/22,20,各组平均值 与总平均值 的离差平方和（Sum of Squares for Factor A, SSA) 反映各总体的样本均值之间的差异程度，又称组间平方和 该平方和既包括随机误差，也包括系统误差 计算公式为,水平项平方和SSA,（3）计算误差平方和,前例的计算结果：SSA =76.846,20
11、19/2/22,21,每个水平或组的各样本数据与其组平均值的离差平方和(Sum of Squares for Error，SSE） 反映每个样本各观察值的离散状况，又称组内平方和 该平方和反映的是随机误差的大小 计算公式为,误差项平方和SSE,（3）计算误差平方和,前例的计算结果：SSE =39.084,2019/2/22,22,可以证明:总离差平方和(SST)、误差项离差平方和(SSE)、水平项离差平方和 (SSA) 之间有如下关系,SST = SSA + SSE,在本例中，可以验证：115.930=76.846+39.084,三个平方和的关系,（3）计算误差平方和,2019/2/22,23
12、,SST反映全部数据总的误差程度；SSE反映随机误差的大小；SSA反映随机误差和系统误差的大小 如果原假设成立，则表明没有系统误差，SSA除以其自由度后的均方（组间均方）与SSE除以其自由度后的均方（组内均方）差异就不会太大；如果组间均方显著地大于组内均方，说明各水平(总体)之间的差异不仅有随机误差，还有系统误差 判断因素的水平是否对其观察值有影响，实际上就是比较组间方差与组内方差之间差异的大小,三个平方和的作用,（3）计算误差平方和,2019/2/22,24,各误差平方和的大小与观察值的多少有关，为消除观察值多少对误差平方和大小的影响，需要将其平均，这就是均方，也称为方差 计算方法是用误差平
13、方和除以相应的自由度 三个平方和对应的自由度分别是 SST的自由度为n-1，其中n为全部观察值的个数 SSA的自由度为k-1，其中k为因素水平(总体)的个数 SSE 的自由度为n-k 注：n-1=（k-1）+（n-k）,（4）计算均方MS,2019/2/22,25,组间方差：SSA的均方，记为MSA，计算公式为,组内方差：SSE的均方，记为MSE，计算公式为,（4）计算均方MS,2019/2/22,26,将MSA和MSE进行对比，即得到所需要的检验统计量F 当H0为真时，二者的比值服从分子自由度为k-1、分母自由度为 n-k 的 F 分布，即,（5）计算检验统计量 F,2019/2/22,27
14、,F分布与拒绝域,如果均值相等，F=MSA/MSE1,（5）计算检验统计量 F,2019/2/22,28, 将统计量的值F与给定的显著性水平的临界值F进行比较，作出对原假设H0的决策 根据给定的显著性水平，在F分布表中查找与第一自由度df1k-1、第二自由度df2=n-k 相应的临界值 F 若FF ，则拒绝原假设H0 ，表明均值之间的差异是显著的，所检验的因素对观察值有显著影响 若FF ，则不能拒绝原假设H0 ，表明所检验的因素对观察值没有显著影响,3、统计决策,2019/2/22,29,对原假设： H0: 1=2=3=4 及备择假设： H1: 四个总体均值不全相等 计算F值： F=MSA/M
15、SE=25.6152/2.4428= 10.486 给出显著性水平：=0.05， 查F(k-1,n-k)分布表得临界值：3.24,由于计算的F=10.4863.24,因此拒绝原假设，从而得出：颜色对该公司饮料销售有显著影响。,3、统计决策,2019/2/22,30,（三）单因素方差分析表(基本结构),四、单因素方差分析,2019/2/22,31,（三）单因素方差分析表(例题分析),四、单因素方差分析,2019/2/22,32,如果同时需考虑两个因素A与B的影响，则可进行双因素方差分析。 双因素方差分析中需假设两个因素有无交互作用，即各自是否独立地发挥影响作用。 1.数据结构,五、双因素方差分析,2019/2/22,33,2.离差平方和的分解,其中:,可以证明:,于是,五、双因素方差分析,2019/2/22,34,表3 双因素方差分析表 误差来源 平方和 自由度 均方差 F值 A因素 SSC r-1 MSC=SSC/(r-1） FC=MSC/MSE B因素 SSR k-1 MSR=SSR/(k-1) FR=MSR/MSE 随机误差 SSE (r-1)(k-1) MSE=SSE/(r-1)(k-1) 合计 SST n-1 SST/(n-1),在饮料销售例中，如果我们还关心不同超市是否对销售有影响，这时可将5个不同的超市作为因素B考虑，它有5个水平。双因素
