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1、欢迎光临!,理论力学, 物体的受力分析, 分离体和受力图, 内力和外力, 三力平衡汇交定理, 物体的受力分析的步骤和注意事项,要点回顾,理论力学,力系的简化,2 力系的简化,寻求一个已知力系的更简单的等效力系，称为力系的简化(reduction of force systems)。 力系的简化是静力学研究的基本问题之一。,本章的主要内容包括: 汇交力系与力偶系的简化 空间任意力系的简化 平行力系的简化 平行力系中心和重心,2.1 汇交力系与力偶系的简化,2.1.1 汇交力系的简化,各力作用线汇交于一点的力系称为汇交力系(concurrent force system)。, 汇交力系的简化 几何
2、法,汇交力系（F1,F2,Fn）简化的结果为一通过汇交点的合力,合力矢等于原力系的主矢:,几何法即是用多边形法则求这个合力矢。,汇交力系的合力 的表达式：,其中，,合力矢的大小和方向余弦：,平面汇交力系合成的解析法,2.1.2 力偶系的简化,全部由力偶组成的力系称为力偶系(system of couples),任意力偶系（M1,M2,Mn）的简化结果为一合力偶,其合力偶矩等于,作用在刚体上的力FA 可以平行移动到刚体上任一指定点O，但必须附加一力偶，其力偶矩等于原力FA 对指定点O之矩MO(FA)。,2.2 任意力系的简化,2.2.1 力线平移定理,= MO(FA),= rOA FA,FO =
3、 FA M = MO(FA) = rOA FA, 力线平移定理的证明,注意一下上述定理的逆过程，即可发现当一个力和一个力偶矩相互垂直时, 即FM时,它们也可以合成为一个力。,13,作用于点O 的原力系合力FR与作用在点O的FR和力偶MO等效，由力的平移定理有,而,合力矩定理：平面任意力系的合力对平面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。,2.2.2 任意力系向一点简化,Fi = Fi Mi = MO(Fi),空间任意力系向一点简化得到一个汇交力系和一个力偶系。,任意力系,向简化中心O简化,汇交力系,力偶系,+,+, 应用固定端约束的约束反力,任意力系,FA和MA,平面固定端约束,空间
4、固定端约束,A,2.2.3 平面任意力系的简化结果,平面任意力系（F1,F2,Fn）向一点简化后得到,由此可得平面任意力系简化结果的以下四种情况:,（1）,（2）,（3）,（4）,（1）平面任意力系简化为一个力偶,当力系合成为一个力偶时，主矩与简化中心的选择无关。,平面任意力系,平面力偶系,合力偶：,（2）平面任意力系简化为一个合力,如果平面力系向一点O的简化结果是主矢和主矩都不等于零，即：,平面任意力系,平面汇交力系,？,原力系为一平衡力系。,力系的主矢和力系对于任意点的主矩都等于零是平面任意力系平衡的必要与充分条件。,在长方形平板的O，A，B，C点上分别作用着有四个力：F1=1 kN，F2
5、=2 kN，F3=F4=3 kN（如图），试求以上四个力构成的力系对O点的简化结果，以及该力系的最后合成结果。,y,求向O点简化结果,解：,建立如图坐标系Oxy。,1.求主矢 。,所以，主矢的大小,26,2. 求主矩MO,主矢的方向：,27,最后合成结果,由于主矢和主矩都不为零，所以最后合成结果是一个合力FR。如图所示。,合力FR到O点的距离,28,重力坝受力情况如图所示。G1=450kN，G2=200kN， F1=300 kN，F2=70 kN。求力系向点O简化的结果，合力与基线OA的交点到O点的距离x，及合力作用线方程。,1.将力系向O点简化，得主矢和主矩，如右图所示。,主矢的投影,解：,
6、30,9m,力系主矢FR的大小,31,主矢FR的方向余弦,则有,32,主矢FR在第四象限内，与x轴的夹角为 70.84o。,力系对O点的主矩为,33,2. 求合力与基线OA的交点到O点的距离 x。,所以由合力矩定理得,其中,故,解得,合力FR的大小和方向与主矢FR相同。,合力作用线位置由合力矩定理求得。,34,设合力作用线上任一点的坐标为（x，y)，将合力作用于此点，则,3.求合力作用线方程。,A,O,C,FR,FRy,FRx,x,x,y,可得合力作用线方程,即,RECALL:,MA(FR) = MA(Fi),Mz(FR) = Mz(Fi),合力矩定理:若力系有合力，则合力对任一点（或轴）之矩
7、等于力系中各力对同一点（或轴）之矩的矢量和（或代数和）,36,平面汇交的合力对于平面内任一点之矩等于所有各分力对于该点力矩的代数和。,37,Mo(F)= xFy-yFx,x、y是力F作用点A的坐标，而Fx 、Fy是力F在x、y轴的投影，计算时用代数量代入。,合力FR对坐标原点之矩的解析表达式,2.3 平面平行力系的简化,各力的作用线相互平行的平面力系称为平面平行力系。,平行力系是工程中最常见的力系之一 。, 平面平行力系的简化,向O点简化后得到:,可进一步简化为一个合力，其合力矢,FR = FR= Fi,合力FR的作用点C称为平行力系中心(center of parallel forces)。
8、下面来确定它的位置。, 平行力系中心,由合力矩定理可得,同理可得,主矢不等于零的平行力系中各力绕其各自的作用点同时转过一个相同的角度时，平行力系中心的位置不变。这个结论与我们的日常经验是吻合的。,平行力系中心C的坐标公式：,公式适用于任何主矢不等零的平行力系，式中各力的投影和作用点的坐标均为代数量，使用时应注意正负号。,42, 平行分布载荷,平行分布载荷是指平行分布的表面力或体积力，通常是一个连续分布的同向平行力系，在工程中极为常见。,某些平行分布载荷可以简化为沿直线分布的平行力，称为线载荷。,作用于悬臂梁的载荷分布于狭长的梁顶表面，且受力关于梁的纵向对称面对称，故可简化为梁纵向对称面内的线载
9、荷。,43,线载荷的大小以某处单位长度上所受的力来表示，称为线载荷在该处的集度(intensity)。常用q表示，单位为N/m或kN/m。 线载荷是平面平行力系的特殊简单情况，可用平行力系的简化理论来求它的合力。,矩形均布载荷,Q = ql,44,水平梁AB受三角形分布的载荷作用。载荷的最大值为 ，梁长 。试求合力P作用线的位置。,B,45,由合力矩定理：,解得：,合力大小等于三角形面积，作用线过其几何中心。,，则分布载荷的合力为：,其中，,解：在梁上距A端为 的微段 上，则作用力大 小为 。,该三角形称之为载荷图，则合力作用线通过载荷图的面积形心。,46,例2-3 如图所示，求作用于悬臂梁A
10、B的线分布荷载对A点的矩。,解：,47,例24：试求下图所示力系的简化结果,将Q1、Q2向A点简化，得到力系的合力R, 重心与形心,作用在地球表面附近的物体各质元上的重力可近似看成一平行力系,此平行力系中心就称为物体的重心(center of gravity)。求物体重心的坐标可直接应用平行力系中心的坐标公式,即,重心坐标公式,式中( xi yi zi )是第 i 个质元的坐标,Pi是它的重量。,如果重力加速度相同，质心,如果是均质，形心,均质物体的重心位置只取决于其体积和形状, 与物体的几何中心重合,也称为形心(centroid of a volume)。,形心坐标的计算公式为,对于均质平面
11、薄板，上式变为,当物体被划分成微元体的数目趋于无穷大，而微元体的大小趋于无穷小时，各式中的求和过渡到积分，质心公式就变成,51,解：(1)分割法 将图形分割成三个部分； 各个部分的面积和形心坐标分别为：,S1=3a2 x1=3a/2 y1=7a/2 S2=2a2 x2=a/2 y2=2a S3=3a2 x3=3a/2 y3=a/2,52,(2) 负面积法 将图形补足成一规则的矩形。,再挖去补充的部分,其面积和形心坐标分别为:,水平梁AB受按三角形分布的载荷作用。载荷的最大值为 ，梁长 。试求合力作用线的位置。,B,由合力矩定理：,解得：,合力大小等于三角形面积，作用线过其几何中心。,，则分布载
12、荷的合力为：,其中，,解：在梁上距A端为 的微段 上，则作用力大 小为 。,例1 求如图所示的平面图形的形心。,解：(1) 分割法,将图形分割成三个部分。,各个部分的面积和形心坐标分别为:,S1=3a2 x1=3a/2 y1=7a/2 S2=2a2 x2=a/2 y2=2a S3=3a2 x3=3a/2 y3=a/2,(2) 负面积法,将图形补足成一规则的矩形。,S1=12a2 x1=3a/2 y1=2a,再挖去补充的部分,其面积和形心坐标分别为:,S2=4a2 x2=2a y2=2a,两种方法求出的结果相同。,例2 如图所示，求作用于悬臂梁AB的线分布荷载对A点 的矩。,解：,59,解,由对称性,例：均质板由y=sinx与x轴的一段(从0到)所围成，求板的重心,习题:2.3，2.4,2.6,2.9(b),2.10,
