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1、第八章 空间问题的解答,第八章 空间问题的解答,8-1 按位移求解空间问题 8-2 半空间体受重力及均布压力 8-3 半空间体在边界上受法向集中力 8-4 按应力求解空间问题 8-5 等截面直杆的扭转,81 按位移求解空间问题,按位移求解空间问题,取位移分量为基本未知函数，并通过消元法，导出弹性体区域内求解位移的基本微分方程和相应的边界条件。 对空间问题来说，这就要从15个基本方程中消去应力分量和变形分量，得出包含3个位移分量的微分方程。,将几何方程（78）代入物理方程（714）得出用位移分量表示的应力分量的弹性方程,81 按位移求解空间问题,几何方程,物理方程,代 入,81 按位移求解空间问
2、题,用位移分量表示的应力分量的弹性方程,其中：,（81）,平衡微分方程,代 入,81 按位移求解空间问题,按位移求解空间问题的基本微分方程,（82）,位移边界条件：,（79）,（82）和（79）就是按位移求解空间问题的一般提法,81 按位移求解空间问题,同理得到按位移求解空间轴对称问题时的基本微分方程,将几何方程（716）代入物理方程（720），得出弹性方程,（83）,其中：,再将（83）代入（715）,（84）,81 按位移求解空间问题,按位移求解空间问题的基本步骤,（1）根据实际问题，设位移分量； （2）使位移分量满足按位移求解的基本微分方程（代入微分方程）； （3）求解微分方程； （4）
3、求出含参数的位移表达式； （5）根据边界条件（应力、位移）求出参数 （6）整理结果。,82 半空间体受重力及均布压力,问题描述：,图：81,如图，密度 ，受均布压力,体力分量：,（1）按位移求解，试假设位移分量,（2）代入基本微分方程（82），并化简,前两式自动满足；第三式为：,（3）求解微分方程；,82 半空间体受重力及均布压力,（4）求出含参数的应力表达式；,（e）,（5）根据边界条件（应力、位移）求出参数,考察应力边界条件（根据（75）得到）,将边界条件代入（e）,（6）结果整理与讨论,（f）,应力：,82 半空间体受重力及均布压力,82 按位移求解空间问题,铅直位移：,（g）,要确定B
4、必须利用位移边界条件，假定在距边界h处没有位移,则边界条件为：,带入（g）求出B,铅直位移：,（h）,82 按位移求解空间问题,讨论,（1）应力分量和位移分量完全确定，并且满足所有条件正确；,（2）最大位移发生在边界上：,（3）侧压系数,83 半空间体在边界上受法向集中力,83 半空间体在边界上受法向集中力,图：83,问题描述： 半空间体，体力不计，在水平面上受法向集中力 ，建立如图所示坐标系。,因为要用到位移势函数，不讲了，具体的推导过程见弹性力学第三版，许芝伦。,84 按应力求解空间问题,84 按应力求解空间问题,按应力求解空间问题,取应力分量为基本未知函数。对空间问题来说，就是要从15个
5、基本方程中消去位移分量和变形分量，得出只包含6个应力分量的方程。,从几何方程中消去位移分量,利用上面三个红色的式子，消去位移,84 按应力求解空间问题,同理得到其它两个方程,（810）,（810）就是相容方程,将（78）的后三式分别对 求导,（78）,84 按应力求解空间问题,（2）（3）（1）得,上式对 再求导,同理，得到其余两式，组成另外一组相容方程,（811）,84 按应力求解空间问题,将物理方程（712）带入相容方程（810）和（811）,84 按应力求解空间问题,利用平衡微分方程（71）简化上式，得到米歇尔相容方程,（812）,84 按应力求解空间问题,在体力为零时，方程（812）简
6、化成贝尔特拉米相容方程,（813）,84 按应力求解空间问题,按应力求解空间问题，必须使6个应力分量在弹性体区域内满足,（1）微分方程（71）； （2）相容方程（812）或（813）； （3）应力边界条件（75）。,85 等截面直杆的扭转,85等截面直杆的扭转,图 84,问题描述： 如图 84，等截面直杆，体力不计，两端受转向相反的两个力偶。,用半逆解法求解。,设应力分量,代入平衡微分方程,（a）,由前两式知， 只是 的函数,85等截面直杆的扭转,根据微分方程理论，存在一个应力函数,（815）,将（814）代入相容方程（813），前3式及最后1式自动满足，其余两式为：,将（815）代入,（81
7、6）,85等截面直杆的扭转,考虑边界条件,主要边界（杆的侧面），应力边界条件（75）的前两式自动满足，第三式为：,将表达式（815）代入,把 代入上式,85等截面直杆的扭转,上式说明了在杆的侧面，应力函数 所取的边界值 是常量。,由于应力函数 增加或减少一个常数，应力分量不受影响，在单连截面情况下，可令,（817）,考虑次要边界条件,的上端， 应力边界条件（75）的第三式自动满足，前两式为：,（b）,85等截面直杆的扭转,利用圣维南原理给出次要边的边界条件,（c），（d），（e）在任意横截面上都满足。,把（815）代入（c）,85等截面直杆的扭转,所以，（c）自动满足，同理（d）也自动满足。,
8、把（815）代入（e），化简处理,（818）,小结：,要想求应力，只需要求应力函数 ，要使应力函数满足（816），（817）和（818），然后用（815）求应力。,85等截面直杆的扭转,推导有关位移的公式,将（814）及（815）代入物理方程（712）,将上式代入几何方程（78）,（f）,85等截面直杆的扭转,由上式的第一式、第二式和第六式求得,其中，积分常数 代表刚体位移。如不考虑刚体位移，只保留与形变有关的位移，则,用柱坐标表示,（819）,可见，横截面在 面上的投影形状不改变，只是转动一个角度 杆的单位长度的扭转角,85等截面直杆的扭转,将式（819）式代入（f）中的第五式及第四式,（8
9、20）,将（820）分别对 和 求导，然后相减,（821）,对比（816）,（822）,复习要点,一、基本概念,（1）弹性力学 （2）切应力互等（要求会证明） （3）弹性力学基本假定 （4）轴对称（在轴对称下哪些物理量为零） （5）虚功方程； （6）最小势能原理； （7）平面应力和平面应变（严格表述）； （8）差分法的基本概念和思想；,复习要点,二、表述,（1）相容方程及物理意义； （2）半逆解法的步骤； （3）空间问题的一般提法（要求会用公式表示） （4）按位移求解问题的步骤（提法）； （5）利用圣维南原理写次要边界的边界条件； （6）位移变分法的基本步骤；,三、计算与证明,复习要点,（1）平面问题的平衡微分方程和几何方程；（不要求极坐标） （2）给出应力函数会求解问题（直角坐标和极坐标）；,
