《《应用多元统计分析》第03章_多元正态分布均值向量和协差阵的检验》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《应用多元统计分析》第03章_多元正态分布均值向量和协差阵的检验（37页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、阮引言限响初均信吊量的检骋用T乙5巾8蓼元统腓怀5)旦在单一变量的统计分析中,已经给出了正态总体NC心)的均值x聋方差z的各种检验。对于多变量的正态总体N(/o-万,各种实际问题同样要求对/和乙进行统计推断。心例如,我们要考察全国各省、自治区和直辖市的社会经济发展状况,与全国平均水平相比较有无显著性差明等,就涉及到多元正态总体均值向量的检验问题等。日本章类以升一取重纯订刀析中四吐似均饲和一消皂俭验,相应地给出多元统计分析中的各种均值向量和协差阵的检验。焕E一卫其基本思想和步骤均可归纳为:第一,提出待检验的假设左和;第二,给出检验的统计量及其服从的分布;第三,给定检验水平,查统计量的分布表,确定
2、相应的临界值,从而得到否定域;第四,根据样本观测值计算出统计量的值,看是否落入否定垣由,以便升待判偃设做出决策(拒绝或接受。一在检验8仪乙命上命乡招E下又不斤|白检何口.75司白统订量,而有关统计量的给出大多用似然比万法得到:由于多变量问题的复杂性,本章只侧重于解释选取统计量的合理性,而不给出推导过程,最后给出儿个实例。日为了更好的说明检验过程中统计量的分布,本章还要介绍HotellingZ2分布和Wilks分布的定义。e单一变量检验的回顾及HotellingT分布去-EttfiytiaMt%会匕i氙t以A人孔EJ信日量的检驯系08一又分布于为了对多元正态总体均值向量作检验,首先需要给出Hot
3、elling72分布的定义-口在单一变量的检验问题中,设X,Xo,.,又,来自总体MN(;02)的样本,我们要检验假设又A井Aoi历:A士A一口eanty其中,成=工宁X为样本均值当假设成立旷,统计量=服几衔从正态分布zN(0,1),从而否定域为1z|z.。,5为N(0,D0的上Q12分位点。刹E不一当g2来知时,用鬣=_(x东_】作为2的佼计量,用统计量:1井坂唰沥33)来做检验当假设成立旷,统计量f服从自由度为=1的7分布,从而香定域为I1I乙(n-D,白z-D为自由度为n-1的7分布万的Q/2外币技里这里我们应该注意到,(33)式可以表示为万2五-二八二二一二二一2对于多元变量而言,可以
4、将1分布推广为下面将要介绍的Hotelling7分布。E一井定义3:1设发一N(,一)8一仁(不且又与万相互独立,RD,则称统计量72=XS“又的分布为非中心Hoteling7分布,记为T7(p,U)。当A=0时,称史服从(中心HotellingT72分布。记为72(D,m。由于这一纬计培的分布首先田HarolBotelling提出来的,故称为Hotelling7“分布,值得指出的是,我国著名统计学家许宝禄先生在1938年用不同方法也导出72分布的密度函数,因表达式很复杂,故略去。E一日在单一变量统计分析中,若统计量tt(az-D分布,则12F(Ln=0分布,即把7分布的统计量转化为乙统计量来
5、处理,在多元统计分析中7“统计量也具有类似的性质。里定理31苹友-NW,(0,三),-伟(mF)东友与8相互独立,传T2=mDKie-1叉,网n5+1P在我们后面所介绍的检验问题中,经常会用到这一性质。万Etpzhpt技5355)个正态总体均值向量左设叉,Xo.发,是来自7维正态苯体N(;万)的桦本,且柬_一五二Z(一芒2一当不下T117一及c仁三Aob为已知向量历:R丿假设反,多立-柏骏绕讯最口余二(春一p立(是一Roj一(PJ-(3.6)络定检验水平Q,查Z2分布表使P(72X2=Q,可确定出临界值x2,再用样本值计算出72,若72X2,则否定及。,香则接受友。凶E一一这里要对统计量的选取做一些解释,为什么该统计量服从么2(D)分布。根据二次型分布定理知道,若又N,(0,三),则无罗“又一X“(P)。显然,邦二(爱二)万(趾一)=仁(春一pnf(工-)AF1F其中,丁三技XR)j不NW0J因化;伟二n(爱一A)1(爱一Ao)2(D)。
