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1、第二章 人寿与年金保险,1,本章重点,人寿和年金保险精算现值的意义和计算 保险费的计算 准备金的计算等,2,2.1人寿保险,广义的人寿保险指以人的身体和生命为保险对象的保险，保险的具体标的是人的死亡、伤残、疾病和年老等，在被保险人遭受人身伤害或死亡或生存到保险期满之后，保险人承担给付保险金的责任。狭义的人寿保险是以人的死亡为保险标的的保险，这里讨论的是狭义的人寿保险。传统的人寿保险有三种基本类型，即终身人寿保险、定期人寿保险和两全保险。,3,2.1.1死亡年年末赔付的寿险,终身寿险 定期寿险 两全寿险 变额寿险,4,终身寿险,对(x)的1单位元死亡年年末赔付终身寿险，其精算现值以Ax表示，若(
2、x)在x+kx+k+1岁间死亡，年末x+k+1岁上得到1单位元给付，在利率i下的现值为k+1，被保险人在x+kx+k+1岁间死亡的概率为kqx，故死亡赔付期望现值为k+1 kqx，投保人(x)可能在k=0,1,2上死亡，因此有：,5,终身寿险,6,在上式中，两边同乘以生命表x岁的存活人数lx 等式表明，lx个x岁的人投保终身寿险的趸缴净保费总额正好满足按生命表死亡规律在死亡年末1单位的赔付。,定期寿险,7,对(x)的1单位赔付n年定期寿险，其现值随机变量为： K+1 k=0,1,2,n-1 Z 0 k=n,n+1, 精算现值为,两全保险,8,对(x)的1单位n年两全保险，是n年定期寿险和n年纯
3、生存保险的合险。后者是以n年满期被保险人仍然存活为给付条件，其现值随机变量为： n k= n,n+1, Z 0 k=0,1,2,n-1 精算现值为,变额寿险,9,如果保险契约规定的赔付额随着死亡时间的变动而不同，这时的寿险称为变额寿险。如果赔付额bK+1=k+1，k是从投保开始到死亡时存活的整数年数，这时的变额寿险称为标准递增的变额寿险。精算现值为：,变额寿险,10,当bK+1=n-k时，称为标准递减的变额寿险。其精算现值为：,2.1.2死亡时赔付的寿险,11,终身寿险 定期寿险 两全寿险 变额寿险,终身寿险,12,寿险在被保险人死亡时支付使支付时间与被保险人的余寿T相联系，设死亡时的赔付额函
4、数为bt，则赔付的现值函数为btt，对1单位元终身寿险，赔付现值随机变量为Z=T ，其中t0： 精算现值为：,定期寿险,13,1单位元死亡时赔付n年定期寿险，其现值随机变量为： T， 00 精算现值表示为：,变额寿险,14,对死亡时赔付的寿险，如果当(x)在投保当年死亡赔付1单位元，在第二年死亡赔付2单位元，第k+1年内死亡赔付k+1单位元的寿险是标准递增的变额寿险，此时，赔付额bt=t+1时，其中，方括号表示最大整数函数。对于n年定期的死亡年末赔付标准递增寿险，其精算现值为：,2.1.3死亡时赔付寿险精算现值的计算,15,死亡时赔付的寿险精算现值以积分的形式表示，在已知被保险人连续的存活函数
5、时才能直接估计出来，但在实际中，通常按照职工生命表提供的整数年龄上的死亡概率，因此需要在一定假设下进行计算。,2.1.3死亡时赔付寿险精算现值的计算,16,2.1.3死亡时赔付寿险精算现值的计算,17,在死亡均匀分布假设下，有： spx+k x+k+s qx+k ，0s1 因此， 又 故,2.1.3死亡时赔付寿险精算现值的计算,18,同理，对死亡时给付的n年定期寿险有： 对于标准变额寿险，在死亡均匀分布假设下，也有类似的公式，对于n年定期标准递增的寿险有： 对终身标准递增寿险和定期标准递减寿险也有类似的公式。,2.2生存年金,19,2.2.1纯粹的生存保险 2.2.2年付一次生存年金的精算现值
6、 1.终身生存年金 2.定期生存年金 3.延期生存年金 2.2.3年付m次生存年金的精算现值 2.2.4寿险与年金的关系,2.2.1纯粹的生存保险,20,生存保险是以被保险人生存为给付条件的保险，纯粹的生存保险是在约定的保险期满时，如果被保险人存活将得到规定的保险金额的保险。假设某人 x岁时开始投保，经过n年后如果仍然存活将得到k元的保险金，x存活n年的概率为npx，得到给付金的期望现值为：kn px vn+0 nqxvn 以nEx表示1单位元n年纯粹生存保险现值：,2.2.1纯粹的生存保险,21,与在复利下的现值系数t和累积系数(1+i)t的作用类似，nEx是在利率和生者利下n年的折现系数，
7、 1/ nEx为在利率和生者利下n年的累积系数。 它是利率累积因子（1+i）n与生存累积因子之积。,2.2.2年付一次生存年金的精算现值,22,生存年金是以生存为条件发生的年金。如果被保险人在规定的时期内存活，则发生年金的收付，否则，停止收付。年金保险中，在保险期内年金的发放以被保险人存活为条件。长期寿险的缴费通常也采取生存年金的方式，在被保险人生存期内缴付保费，被保险人死亡，则停止缴费。生存年金有终身年金、定期年金、延期年金几种基本类型，由首次支付的起点不同分为期首付年金和期末付年金。,终身生存年金,23,终身生存年金的支付期没有限制，只要被保险人存活，每隔一定时期发生一次收付。对(x)的每
8、年1单位元期首付终身生存年金，其精算现值以 表示，它是一系列保险期逐步延长的纯粹生存保险之和，因此 求和上限实际是-x-1，为方便通常写成。,2.2.4寿险与年金的关系,24,寿险与年金是两种不同的保险，但其精算现值都依赖于被保险人的死亡年龄，因此他们之间存在某种关系，而对这种关系的认识，有助于进一步的精算估计。 由于 又： 因此：,2.3保险费,25,保险费是被保险人购买保险的价格，它由性质不同的两部分组成，一部分是作为保险人保险给付金来源的保费，它是保险标的损失分摊形成的费用，称为净保费或纯保费，一部分是为补偿保险人在经营管理上必要开支的费用，称为附加保险费，两部分之和是总保费或称毛保费。
9、寿险合同通常是长期合同，保险缴费一般采取分期缴付的方式。,2.3.1均衡净保费,26,由于净保费是满足未来保险给付的保费，趸缴净保费应等于均衡净保费的现值。而均衡保费的缴付是以被保险人存活为条件的，因此，实际上净保费现值是生存年金现值，根据这一平衡公式，可以计算出均衡净保费。设保险金的现值为A，每次净保费为P，每次1单位的生存年金现值为：A=P,2.3.2总保费,27,总保费是在净保费的基础上增加附加保费的值，对不同的费用项目通常采取不同的附加方式。根据不同的附加方式，在总保费现值等于保险金现值和附加保费现值之和的等式下可以估计每年的总保费。设每次缴费的总保费为G，如果以总保费的比例表示的附加
10、保费为总保费的比例k，以固定数额表示的附加保费为C，以保险金额的比例表示的附加保费部分为保险金额的g比例，则有平衡公式,2.4责任准备金,28,在趸缴保费和均衡保费下，保险人的保费收入与赔付支出有一定的时间差，责任准备金正是把过去保费收入大于赔付支出的部分以复利积存起来形成的基金，这一基金也正是弥补将来保费收入不足赔付支出的部分。因此，它是保险人对投保人的一种负债，直接影响保险公司的利润。,2.4.1均衡净保费责任准备金,29,责任准备金的提存和计算以净保费为依据，从未来看，责任准备金是保险人未来的净责任，用未来给付金现值减去未来净保费现值来衡量，从过去看，它是保险人过去净保费收入大于赔付支出
11、的部分，用过去净保费终值减去过去保险金终值计算。因此，形成了责任准备金的两种计算方法。,将来法和过去法,30,责任准备金以将来法计算，是未来给付精算现值与未来净保费精算现值之差。对不同保单，根据契约规定的保险责任、保险金额和保费缴付方式，可以分别计算出计算时点的未来给付精算现值和未来净保费精算现值。t年末的责任准备金以tV表示。 过去法责任准备金是过去净保费的累积与过去保险金累积之差。,2.4.2责任准备金的递推公式,31,对(x)的1单位元终身缴费终身寿险，t年末未来法责任金的计算公式为： 两边同加保费P，并依据 代入上式可得,2.4.2责任准备金的递推公式,32,公式表明，t年末的责任准备
12、金加上t+1年初的净保费，正好等于t+1年的死亡给付在t年末的现值与t+1年末责任准备金在利率和生者利下在t年末的现值。这一递推公式对所有保险形式均适用，以Pt表示t+1年初的净保费，bt表示t年末的死亡给付金额，则一般递推公式可以表示为：,2.4.3修正的责任准备金,33,实际中，虽然保费是以均衡方式收取的，但费用的发生是不均衡的，一般在契约成立初年需要在广告宣传、代理人佣金、核保、风险分类等方面有较大的开支，在保险事故发生年，需要在理赔方面有较大的开支，在其他年份，主要是一些日常管理费。费用发生的这种不均衡性，使均衡附加保费在初年不足，而在其他年份又有结余。,2.4.3修正的责任准备金,34,实际中，需要通过注入其他资金或占用均衡净保费的方法补足初年不足的费用，而在其他年份的费用结余中逐步补齐。由于动用保险公司其他资金会影响保险公司资金的运用，因此，通常是通过占用初年净保费，少提责任准备金，以后再逐步归还的方法实现这种调整的。由于对均衡净保费进行了调整，使责任准备金发生了变化，我们把这种调整责任准备金的方法称为修正的责任准备金方法。,
