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1、2018年上海市竞赛试题高三数学一、填空题（本大题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）1集合且的元素个数是 2设函数是的函数，满足对一切，都有，则的解析式为= 3已知椭圆，为椭圆的右焦点，为过中心的弦，则面积的最大值为 4设集合的非空子集为，记集合中的所有元素的积为（单元数集的元素积是这个元素本身），则= 5已知一个等腰三角形的底边长为3，则它的一条底角的角平分线长的取值范围是 6设实数满足，记的最大值和最小值分别为和，则= 7在三棱锥中，已知，则的取值范围是 8在平面直角坐标系中，有2018个圆：，其中的圆心为，半径为，这里，且与外切，则= 二、解答题（本大题满分60分，每小
2、题15分）9已知三个有限集合满足（1）求证：（这里，表示有限集合的元素个数）；（2）举例说明（1）中的等号可能成立10求不定方程的满足的正整数解的组数11设是实数，求的最小值12设为给定的正整数，考虑平面直角坐标系中的点集对中的两点，当且仅当或与两条坐标轴之一平行时，称是“相邻的”，将中的每个点染上红、蓝、绿三种颜色之一，要求任意两个相邻点被染不同的颜色，求染色方式的数目试卷答案一、填空题1. 2. 3. 4. 5.6. 7. 8.二、解答题9.解：（1）集合可以拆分成三部分：，（如图）则，集合同理.命题证而（2）当时取等号，如，10.令，则当取遍时，的正整数解组数为总共，11.当时，12.从点向外一共有层正方形，染色要求：正方形相邻顶点颜色不同与上一层相邻点，也不同记点染了号色，第1个正方形四个顶点染色A类：（一共用了色）上层A类，之后一层的染色情况：B类：（一共用了3色）上层为类，则下层的染色情况：构建数列，表示第层为类染色方法，表示第层为B类染色方法，构造：满足又，解得最后，、色号与红绿蓝之间有种排法染色方式有种. - 5 -
