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1、面积图趣解行程问题吴乃华教学生解答生活中的问题，常常需要以画图的方法作为辅助手段来帮助学生理解。画图的方法很多，有线段图、网状图、波形图、韦恩图、面积图、情景模拟图等等。本文就利用面积图解答行程问题作个探讨，以期得到同行们的关注与校正。数学知识之间，都有一定的联系，利用“他山之石”来解决我们生活中的问题，不仅加强了我们知识上的融通，还会使我们的学习生活充满无穷的乐趣。行程问题和长方形面积的计算基本关系式的实质，都是因数因数积，所以在解答行程问题的时候，可以以面积图利用其边长与边长、边长与面积、面积与面积的关系，予以比较，从而能形象而又直观地找到解题的突破口，可以起到化难为易，化不能为可能的作用
2、。比如，比较两个数量的倍数关系，在通常的情况下，一般都需要是两个同类量才能进行，平常，如果有人问“速度是时间的几倍？”大家一定会笑掉大牙，可是在面积图里，因为它们都是长方形的边长，所以也就无足为奇了。利用面积图解答行程问题，按其图形的组合形式，可以分为重叠式、拼合式、伸缩式三种。下面精选几个实例予以说明。一、重叠式：重叠式又分为两图重叠和三图重叠两种。、两图重叠例 1. 李铭上学，有一天他发觉他每分钟走的米数，和到达学校时间的分钟数恰巧相同。并且，他计算了一下，如果每分钟多走 12 米，时间就减少 10 分钟。你知道他家到学校的距离是多少米吗？解：设 AB 为李铭上学每分钟的速度，BC 为他到
3、校的时间，据题目条件，正方形 ABCD 即可表示他家到学校的距离。如果每分钟多走 12 米，时间就减少 10 分钟。长方形 BEFG 也表示他家到学校的距离。由于图中正方形的面积和长方形的面积相等，可知，长方形 AEFH 的面积也和长方形 GHDC 的面积相等（图一）。如果把 EF 延长至 I，令其等于正方形的边长 BC，再连接 ID（图二） ，则长方形 AEID与长方形 GHDC 的长边同为正方形 ABCD 的边长，可是长方形 AEID 比长方形 GHDC 的面积大 1210120； 究其原因，是因为 AE 是 GC 的 1210 .65所以长方形 GHDC 的面积是 120（ 1）600正
4、方形 ABCD 的边长是 CD6001060他家到学校的距离是 60603600（米）例 2. 从甲地到乙地，火车原来每小时 90 千米的速度需 12 小时到达，现在提速后，每小时比原来多行驶 30 千米，可以提前多少小时到达？ 解：图中 AB90 千米，长方形 ABCD 的面积表示按原速度，12 小时所行驶的情况；BH30 千米，长方形 AHGE 的面积表示提速后行驶的的情况，将这两个都表示从甲地到乙地的路程的长方形如此一重叠，提前的时间，就清楚地凸显出来了。 AE 是实际行驶的时间，FC 就是提前到达的时间，也就是要求的问题。长方形 ABCD 的面积长方形 AHGE 的面积9012 108
5、0.可知 AE1080（9030 ）9 即实际需要行驶 9 小时。所以 FCA DAE1293 即可以提前 3 小时到达。例 3. 甲、乙两人分别骑摩托车与自行车同时从 A 镇出发，到相距 30 千米的 B 镇去，结果甲比乙早 小时到达 B 地。已知摩托车的速度是自行车速度的 4 倍。自行车的速度718每小时多少千米？解：图中 CD 表示自行车的速度，CE 表示摩托车的速度，则 CE4CD；CH表示摩托车行全程所用的时间，CI 表示自行车行全程所用的时间，HI 小时.718长方形 CEFH 的面积表示摩托车行走的情况，长方形 CDJI 的面积表示自行车行走的情况，两个长方形都代表 A、B 两地
6、的路程，30 千米。根据长方形 CEFH 的面积为 30，可推知宽边为：CH304CD7.5CD；7.5CD长方形 CDJI 的面积可以表示为：即 CD（ ）30. 解得 CD127.5D18自行车速度 CD12（千米/小时） 。 . 三图重叠例 4. 张兴打算骑自行车从甲地前往乙地去办一件事。如果改骑摩托车，每小时可比自行车多走 15 千米，就可提前 1 小时到达；如果步行前往，每小时要比自行车少走 723千米，就要推迟 4.2 小时到达。甲、乙两地相隔多少千米？解：长方形 CJLE 表示自行车到达乙地所行走的情况，长方形 FJMI 表示步行到达乙地所行走的情况，长方形 AJKB 表示摩托车
7、到达乙地所行走的情况，所以这三个长方形的面积是相等的。根据等量减等量差相等的道理可知，长方形 ABGF 的面积长方形 GIMK 的面积。又，长方形的面积一定，它的长与宽成反比例，所以，AB：IM （ 1 4.2）：（157）234：15同理，两个阴影长方形的面积也是相等的，所以 CE：IM4.2：79：15.这样，可知骑自行车需要的时间是： JL1 3（小时）294-骑摩托车需要的时间是：JK31 1 （小时） 两个阴影长方形的面积都为：3721步行每小时的速度是 IM214.25（千米）甲乙两地间的相距是： 5（34.2）36（千米） 例 5. 从甲城到乙城，如果比规定速度快 10 千米，就
8、比规定时间提前 2.4 小时到达；如果比规定速度慢 5 千米，就比规定时间延迟 1.6 小时到达。求甲、乙两城之间的距离。解：图中 AB 为原来每小时的速度，BC 为原来规定的时间，则长方形 ABCD 的面积就为甲、乙两城之间的距离（图一） 。如果比规定速度快 10 千米，即现在的速度为 BE；时间比规定时间提前 2.4 小时，即现在的时间为 BH；甲、乙两城之间的距离也等于 BEFH，显然长方形 AEFG 的面积等于长方形 GHCD 的面积。如果比规定速度慢 5 千米，即现在的速度为 IB；（如图二） 。时间就比规定时间迟 1.6 小时，即现在的时间为 BL；甲、乙两城之间的距离也等于 IB
9、LK，这样，长方形 AIMD 的面积等于长方形 MCLK 的面积。设：AIJG 的面积为 x，长方形 GJMD 的 面积 52.412；长方形 MCLK 的面积等于x12。长方形 AEFG 的面积等于 x，长方形 JHCM 的面积等于 x12。10510已知 HC2.4； CL1.6； 那么，GC 就是 CL 的 2.41.61.5 倍。如果把长方形 MCLK 的面积扩大 1.5 倍，应当等于长方形 JHCM 的面积，于是得方程：x12（x12）1.5 解得 x60105原定时间为 BC6052.414.4（小时） ； 原定速度为 AB60 2.450（千米/ 小时） 。1、 乙两城之间的距离
10、为 5014.4720（千米）二、拼合式：这种方法适合于两个时间的和以及相应的两种路程的和的行程问题。例 6. A、B 两地相距 51 千米，甲乙二人骑车先后从 A、B 两地相向出发，甲每小时行 15 千米，乙每小时行 12 千米。当两人行走的时间和为 3.9 小时时，恰好在途中相会，甲和乙二人各行了几小时？解：图中长方形 ABCD 和 DEFG 的面积分别表示甲乙二人相遇时所走的路程的和，51 千米。AE 表示甲乙两人共走的小时数 3.9 小时，AD 表示甲行走的小时数，DE 表示乙行走的小时数。AB 表示甲的速度每小时 15 千米；EF 表示乙的速度每小时 12 千米；题中的问题就是要我们
11、求 AD 和 DE 的长度。长方形 AEFH 的面积是 3.91246.8；由条件可知，BH15123， 长方形 BCGH 的面积是 5146.8 4.2所以，甲行的小时数为 ADBC4.231.4（小时） ； 乙行的小时数为 3.91.42.5（小时）.例 7. 一艘轮船从甲港逆流而上到达乙港，然后返回甲港往返共用 12.5 小时。已知逆流的速度比回来时顺流速度每小时慢 8 千米，去时用的时间是回来时的 1.5 倍，问甲乙两港的水路长多少千米？解：顺流用时 12.5（11.5）5（小时） ； 逆流用时 51.57.5（小时）.用 AB 表示逆流每小时的速度；BDAB8 表示顺流每小时的速度。
12、AM7.5 小时，表示逆流的时间，DH5 小时，表示去与回的时间。因为长方形 ABEM 和长方形 BDHF 的面积都是表示甲乙两港间的路程，所以相等。要求甲乙两港的水路是多少千米，只要算出长方形 ABEM 的面积即可。要算出长方形 ABEM 的面积，关键在于求 AB 的值。作辅助线 CG 和 FN。令 ABBC，这样，长方形 ABFN 的面积长方形 BCGF 的面积。根据等量减等量差相等的道理，可知长方形 CDHG 与长方形 EFNM 的面积相等。而长方形 CDHG 的面积为 5840；FEB EBF 7.552.5； 所以 AB40 2.516.长方形 ABEM 的面积为 167.5120，
13、 甲乙两港的水路为 120 （千米）三、伸缩式：这种形式，一般是时间一定，因速度的快慢变化，引起所行路程的多少变化例 8. 爸爸要到外地去出差，司机由单位送他去赶定时发车的火车。如果小车每小时行驶 60 千米，到火车发车的时刻，还要行 6 千米的路程才能到达；如果每小时多行驶20 千米，到火车发车的时刻，小车还可以前行 4 千米。从单位到火车站的路程是多少千米？从单位出发时距火车发车时刻还有几个小时？解：图中 AB 表示每小时行 60 千米，BG 表示每小时多行驶 20 千米，AD 表示到达车站的合适小时数。长方形 AEFD 的面积表示从单位到火车站的总路程。因为长方形 ABCD 的面积代表每小时行驶 60 千米所走的路程，此时，距车站还有 6千米的路程，所以长方形 BEFC 的面积为 6；又因为长方形 AGHD 的面积代表每小时多行驶 20 千米所行的路程，此时超过车站 4 千米，所以长方形EGHF 的面积为 4。因此长方形 BGHC 的面积为： ADBG 6410；已知 BG20， 所以，经过合适的时间到达为 AD10200.5.长方形 AEFD 的面积为：600.5636 或（6020）0.5436.答：从单位到火车站的路程有 36 千米，从单位出发时距火车发车时刻还有半个小时。
