维流体动力学基础

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1、第三章 一维流体动力学基础,第一节 概述,流体的流动是由充满整个流动空间的无限多个流体质点的运动构成的。充满运动流体的的空间称为流场。,研 究 方 法,欧拉法：,拉格朗日法：,着眼于整个流场的状态，即研究表征流场内流体流动特性的各种物理量的矢量场与标量场,着眼于个别流体质点的运动，综合所有流体质点的运动后便可得到整个流体的运动规律,一、拉格朗日法,拉格朗日方法：是以流场中每一流体质点作为描述流体运动的方法，它以流体个别质点随时间的运动为基础，通过综合足够多的质点（即质点系）运动求得整个流动。质点系法,研究对象：流体质点,（a,b,c）为t=t0起始时刻质点所在的空间位置坐标，称为拉格朗日数。

2、所以，任何质点在空间的位置（x,y,z）都可看作是（a,b,c）和时间t的函数。,（2）（a,b,c）为变数，t =const，可以得出某一瞬间不同质点在空间的分布情况。,（1）（a,b,c）=const ，t 为变数，可以得出某个指定质点在任意时刻所处的位置。,流体质点速度为：,流体质点加速度为：,流体质点的其它流动参量可以类似地表示为a、b、c和 t 的函数。如： p=p(a，b，c，t) =(a，b，c，t),由于流体质点的运动轨迹非常复杂，而实用上也无须知道个别质点的运动情况，所以除了少数情况（如波浪运动）外，在工程流体力学中很少采用。,二、欧拉法,欧拉法（euler method）是

3、以流体质点流经流场中各空间点的运动来研究流动的方法。 流场法,研究对象：流场,它不直接追究质点的运动过程，而是以充满运动流体质点的空间流场为对象。研究各时刻质点在流场中的变化规律。将个别流体质点运动过程置之不理，而固守于流场各空间点。通过观察在流动空间中的每一个空间点上运动要素随时间的变化，把足够多的空间点综合起来而得出的整个流体的运动情况。,由欧拉法的特点可知，各物理量是空间点x，y，z和时间t的函数。所以速度、密度、压强和温度可表示为：,1.速度,（x,y,z,t）欧拉变量,2. 欧拉加速度,流体质点某一时刻处于流场不同位置，速度是坐标及时间的函数，所以流速是t 的复合函数，对流速求导可得

4、加速度:,如：,代入上式得：,等号右边第一项是时变加速度；后三项是位变加速度；,时变加速度（当地加速度） 流动过程中流体由于速度随时间变化而引起的加速度；,位变加速度（迁移加速度） 流动过程中流体由于速度随位置变化而引起的加速度。,在水位恒定的情况下： （1）AA不存在时变加速度和位变加速度。 （2）BB不存在时变加速度,但存在位变加速度。,在水位变化的情况下： (1) AA存在时变加速度,但不存在位变加速度。 (2) BB既存在时变加速度,又存在位变加速度。,一、定常流和非定常流,定常流又称定常流，是指流场中的流体流动，空间点 上各水力运动要素均不随时间而变化即：,第二节 流体运动的基本概念

5、,非定常流又称非定常流,是指流场中的流体流动空 间点上各水力运动要素中, 只要有任何一个随时间的变 化而变化的流动。,答案,B,答案,B,二 流线与迹线,1. 流线,流线的定义表示某一瞬时流体各点流动趋势的曲线: 曲线上每一点的速度矢量总在该点与曲线相切。,右图为流线谱中显示的流线形状。,这是欧拉方法中，用几何曲线形象描述流动的手段。,流线的作法,在流场中任取一点（如图所示）, 绘出某时刻通过该点的流体质点的流速矢量u1，再画出距1点很近的2点在同一时刻通过该处的流体质点的流速矢量u2，如此下去，得一折线1234 ，若各点无限接近，其极限就是某时刻的流线。,流线的性质,b.流线不能是折线，而是

6、一条光滑的曲线。,a.同一时刻的不同流线,不能相交.,d.流线簇的疏密反映了速度的大小 （流线密集的地方流速大，稀疏的地方流速小）。,c.流线的形状和位置，在定常流动时不随时间变化；而在不定常流动时，随时间变化。,流线的方程,根据流线的定义，可以求得流 线的微分方程： 设ds为流线上A处一微元弧长:,u为流体质点在A点的流速:,因为流速向量与流线相切，即没有垂直于流线的流速 分量，u 和ds重合。所以,即,展开后得到：,流线方程,或用它们余弦相等推得：,2.迹线,迹线某一质点在某 一时段内的运动轨迹线。 图中烟火的轨迹为迹线。,1）迹线的定义,2）迹线的微分方程,式中，ux,uy,uz 均为时

7、空t,x,y,z的函数，且t是自变量。,注意：流线和迹线微分方程的异同点。,流线方程,【例1】有一流场, 其流速分布规律为：ux= -ky， uy= kx，uz=0，试求其流线方程。 【解】 由于uz=0 ，所以是二维流动，二维流动的流线方程微分为： 将两个分速度代入流线微分方程， 得到 即： xdx+ydy=0 积分上式得到： x2+y2=c 即流线簇是以坐标原点为圆心的同心圆。,【例2】已知：设速度场为 ux = t+1 ,vy = 1，t = 0时刻流体 质点A位于原点。 求：（1）质点A的迹线方程； （2）t = 0时刻过原点的流线方程；,解：(1)由欧拉迹线方程式，迹线方程组为,由上

8、两式分别积分可得,t = 0时质点A 位于x =y =0，得c1= c2= 0。质点A的迹线方程为:,消去参数t得A点的迹线方程为：,（2）由流线微分方程：,积分可得：,在 t = 0时刻，流线通过原点 x = y = 0，可得C = 0，相应的流线方程为：,2.元流 流管中的液流称为元流或微小流束元流的极限是一条流线。,三.元流与总流 1.流管在流场中取任一封闭曲线（不是流线），通过该封闭曲线的每一点作流线，这些流线所组成的管状空间称为流管。,元流性质： 流体做定常流动时，元流的形状不随时间变化。 流体不能从元流的侧面流入和流出，流体只能沿元流端面流入或流出。 元流横断面积无限小，其断面流速

9、、压强等参数可以认为是相等的。,3.流束过流管横截面上各点作流线，则得到充满 流管的一束流线簇，称为流束。,1.过水断面即水道（管道、明渠等）中垂直于水流流动方向的横断面, 如图中的 1-1，2-2 断面。又称为有效截面，在流束中与各流线相垂直，在每一个微元流束的过水断面上，各点的速度可认为是相同的。,四.过水断面 湿周 水力半径,2.湿周 水力半径 当量直径,湿周在总流的有效截面上，流体与固体壁面的接触长度。 水力半径总流的有效截面积A和湿周之比。 圆形截面管道的几何直径 非圆形截面管道的当量直径,关于湿周和水力半径的概念在非圆截面管道的水力计算中常常用到。,五、一维流动模型,一维流动： 流

10、动参数是一个坐标的函数； 二维流动： 流动参数是两个坐标的函数； 三维流动： 流动参数是三个坐标的函数。 对于工程实际问题，在满足精度要求的情况下，将三维流动简化为二维、甚至一维流动，可以使得求解过程尽可能简化。,二维流动一维流动,三维流动二维流动,平均流速体积流量与有效截面积之比值,用 v 表示。,流量在单位时间内流过有效截面积的流体的量。,六、流量与平均流速,如图所示，在总流上取一微小流束，过水断面分别为dA1 和dA2 ，相应的速度分别为u1和u2 ，密度1 和2 。由于微小流束的表面是由流线围成的，所以没有流体穿入或穿出流束表面，只有两端面dA1 和dA2有流体的流入和流出。,第三节

11、流体运动的连续方程,一、元流的连续性方程,由于流体做定常流动，则根据质量守恒定律得 dM=0 则 可压缩流体微小流束的连续性方程。,则有,对不可压缩流体的定常流动，,不可压缩流体微小流束定常流动的 连续性方程。,其物理意义是：在同一时间间隔内流过微小流束上任一过水断面的流量均相等。或者说，在任一流束段内的流体体积(或质量)都保持不变,2.总流的连续性方程,将微小流束连续性方程两边对相应的过水断面A1及A2 进行积分可得 上式整理后可写成,总流的連续性方程，它说明可压缩流体做定常流动时，总流的质量流量保持不变。,其物理意义是：不可压缩流体做定常流动时，总流的体积流量保持不变；各过水断面平均流速与

12、过水断面面积成反比，即过水断面积处，流速；而过水断面面积处，流速。,例： 断面为5050cm2的送风管，通过abcd四个4040cm2的送风口向室内输送空气，送风口气流平均速度均为5m/s， 求：通过送风管1-1，2-2，3-3各断面的流速 和流量。,解：每一送风口流量 Q0.40.45=0.8m3/s Q04Q3.2m3/s 根据连续性方程 Q0Q3Q QQ0Q3Q2.4m3/s Q0Q2Q QQ02Q2Q1.6m3/s Q0Q33Q Q3Q03Q0.8m3/s 各断面流速,第四节 流体定常流能量方程,从功能原理出发，取不可压缩无黏性流体恒定流动这样的力学模型，可以推出元流的能量方程式：,在

13、dt时间内压力作的功：,流段所获得的动能：,位能的增加：,功能原理：,一、理想流体元流能量方程,化简：,常数,或,式中各项物理意义： Z：是断面对于选定基准面的高度，水力学中称位置水头，表示单位重力作用的流体的位置势能，称单位位能；,是断面压强作用使流体沿测压管所能上升的高度，称为压强势能；,是以断面流速u为初速度的铅直上升射流所能达到的理论高度，水力学中称为流速水头，表示受单位重力作用的流体的动能,称为单位动能。,二、实际总流能量方程,1、均匀流、急变流、渐变流 均匀流：任一确定的流体质点在其运动过程中速度大小和方向均保持不变的流动。 急变流：速度大小或方向发生明显变化。 渐变流：流体质点速

14、度变化较缓慢的流动。,（2）位于同一流线上的各质点速度相等；,（3）过流断面上压强服从静止压强分布规律，亦即同一过流断面上各点的测压管水头相等。,2、均匀流的特点,（1）管道恒定流动中，各质点的流线相互平行，过流断面为一平面；,证明：过流断面n-n上取任 意微小柱体为隔离体，长L， 横截面A与铅直方向倾角 ，两截横面与基准面的 高度为z1，z2，压强p1，p2。,在n-n方向受力,压力：,重力分量：,而,微小柱体在nn向方受力平衡：,2）,上式,动能修正系数 a 是由于截面上速度分布不均匀而引起的，a 是个大于1 的数，有效截面上的流速越均匀，a 值越趋近于1。在实际工业中，通常都近似地取 a

15、=1.0 。以后如不加特别说明，都假定 a=1 ，并以 v 代表平均流速。而对于圆管层流流动a=2 。,3）,令单位重量流体流过1、2断面平均能量损失为,则,综上可得,-不可压缩恒定总流伯努利方程,思考题:,问题1.拿两张薄纸，平行提在手中，当用嘴顺纸间缝隙吹气时，问薄纸是不动、靠拢、还是张开？为什么？,参考答案： 靠拢；流速增大、压强降低,问题2：两船并行相撞的解释：,两船间流线密、流速高、压力低。,第五节 能量方程的应用,1.流体是定常流动； 2.流体是不可压缩流体； 3.只在重力作用之下（质量力只有重力； 4.建立方程的两个断面必须选取在渐变流段上；,一、能量方程的应用条件,讨论：,2）

16、功率输出H输出（如汽轮机）,1）功率输入H输入（如泵),1.两断面间有能量的输入与输出,2.两断面间有流量的输入与输出,二、能量方程的解题步骤,三选一列 1 选择基准面：基准面可任意选定,但应以简化计 算为 原则。例如选过水断面形心（z=0），或选自由液面（p=0）等。 2 选择计算断面：计算断面应选择均匀流断面或渐变 流断面，并且应选取已知量尽量多的断面. 3 选择计算点：管流通常选在管轴上,明渠流通常选在 自由液面。对同一个方程,必须采用相同的压强标准。 4 列能量方程解题：注意与连续性方程的联合使用.,例1：在图3-60所示的虹吸管中，已知：H1=2m； H2=6m；管径D=15mm；如不计损失。问s处的压强应为多大时此管才能吸水？此时