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第二节 收敛数列的性质,定理1 收敛的数列必定有界.,证,由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件.,推论 无界数列必定发散.,1.有界性,一、数列极限的性质,2.唯一性,定理2 每个收敛的数列只有一个极限.,证,由定义,故极限唯一.,3.保号性,定理3 若 ，则对任意 .（或 ） ，,定理4 若 均存在，并且 则：,4.保不等性,例1,证,上两式同时成立,上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限,注意:,例2 求数列 的极限。 解： 记 ， 这里 ，则有： 左右两边的极限均为1， 故由夹逼准则本例得证。,例3,解,由夹逼定理得,6、极限运算法则,小结:,例4 求,例5 求 ，其中 。 例6 求 。 定理 数列 收敛的充要条件为： 的任何非平凡子列都收敛。,
