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1、掌握一些求简单数列通项的方法/能够利用数列的有关知识解决简单的实际问题,第16课时 数列的综合应用,数列作为特殊的函数，在解决实际问题过程中有着广泛的应用，如人口增长问题、存款利率问题、分期付款问题利用等差数列和等比数列还可以解决一些简单的已知数列的递推关系求其通项公式等问题,1古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数比如：他们研究过 图1中的1,3,6,10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，这样的数为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是( ) A289 B1 024 C1 225 D1 378,解析：观察三角形数：1,3,6,1
2、0，记该数列为an， 则：a11， a2a12， a3a23， anan1n.,a1a2an(a1a2an1)(123n)an123 n ，观察正方形数：1,4,9,16，记该数列为bn，则bnn2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n都为正整数 的只有1 225，故选C. 答案：C,2. 广州市为成功举办2010年亚运会，决定从2005年到2009年5年间更新市内现有全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2005年底更新的车辆数约为现有总车辆数的(参考数据1.141.46,1.151.61)( ) A10% B16.4% C16.8% D20%,解析：本题考查
3、考生的综合应用能力设市内全部出租车为b,2005年底更新的车辆为a，则2006年更新的车辆为a(110%)，2007年更新的车辆为a(110%)2,2008年更新的车辆为a(110%)3,2009年更新的车辆为a(110%)4，由题意可知：aa(110%)a(110%)2a(110%)3a(110%)4b，a(11.11.121.131.14)ba b， 16.4%.故2005年底更新的车辆数约为现有总车辆数的16.4%，故选B. 答案：B,3在数列an中，已知a11，a25，an2an1an(nN*)，则a2 007等于( ) A1 B5 C4 D5 解析： an3an，an6an3an.
4、即an是周期为6的数列a2 007a63343a3a2a14，故选C. 答案：C,4. 如图，一个计算装置有两个数据输入口、与一个运算结果输出口， 当、分别输入正整数m，n时，输出结果记为f(m，n)，且计算装置运算 原理如下： 若、分别输入1，则f(1,1)1；若输入固定的正整数，输入的 正整数增大1，则输出结果比原来增大3；若输入1，输入正整数增大 1，则输出结果为原来3倍则f(m，n)_. 答案：,解数列应用题，要充分运用观察、归纳、猜想等手段，建立等差数列、等比数列、递推数列等模型(比较典型的问题是存款的利息计算问题，通常的储蓄问题与等差数列有关，而复利计算则与等比数列有关),【例1】
5、银行按规定在一定时间结算利息一次，结算后即将利息并入本金，这种计算 方法叫做复利，现在某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案一次性贷款10万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年都比前一年增加利润5千元，两种方案使用期都是10年，到期一次性还本付息，若银行贷款利息均按年息10%的复利计算，试比较两方案的优劣(计算时，精确到千元，并取1.1102.594，1.31013.79),解答：甲方案10年共获利1(130%)(130%)9 42.63. 到期时，银行贷款本息为10(110%)1025.94. 按甲方案扣除贷款本息后，净
6、收益为42.6325.9416.69(万元) 乙方案10年共获利11.5(190.5) 32.5 到期时，银行贷款本息为(110%)(110%)2(110%)10 1.1 17.53， 按乙方案扣除贷款本息后，净收益为32.517.5314.97(万元) 所以甲方案略优于乙方案,点评：本题甲、乙两种方案分别转化为等比数列和等差数列，而两种方案中贷款的本息和的计算方法也不相同另外当贷款期限大于10年时，甲方案的优越性更大，当贷款期限少于10年时，则乙方案较优,1. 形如 ，求通项公式问题可利用累加法； 2形如 ，求通项公式问题一般可通过待定系数法； 3anc(an1)转化为等比数列问题解决,【例
7、2】已知数列an满足a11，an3n1an1(n2) (1)求a2，a3；(2)证明：an . 解答：解法一：(1)a11，a2314，a332413. (2)证明：由已知anan13n1，故an(anan1)(an1an2) (a2a1)a13n13n231 ，所以证得an .,解法二：(1)a11，a2314，a332413. (2)证明：当n1时，a1 1，结论成立 假设当nk(kN*)时，结论成立，即ak ，则当nk1时， ak13kak3k 当nk1时，结论成立 由以上两步可知，对于nN*，都有an 成立,变式2. 已知数列an满足：a11，a23，an23an12an(nN*) (
8、1)证明：数列an1an是等比数列； (2)求数列an的通项公式； (3)若数列bn满足4b114b214bn1(an1)bn，证明：bn是等差数列,解答：(1)证明：由an23an12an得an2an12(an1an)， 即 2， 因此数列an1an是等比数列 (2)由(1)知an1an(a2a1)2n12n， ， 则ana12(2n11)，an2n1.,(3)证明：由已知条件4b1b2bnn2n bn， 2Sn2nnbn，当n2时，2Sn12(n1)nbn1 以上两式作差，得2bn2nbn(n1)bn1， 整理得：(n2)bn(n1)bn12， nbn2(n1)bn1， 得：2(n1)bn
9、(n1)(bn1bn1)， 2bnbn1bn1，因此bn成等差数列.,可通过计算数列的前有限项，根据其规律归纳推测数列的通项公式等，然后利用数学归纳法进行证明,【例3】已知数列an的各项都是正数，且满足a01，an1 an(4an)，nN. (1)证明：anan12，nN；(2)求数列an的通项公式an.,然后通过数学归纳法给以证明也可证明： 构成等比数列,(2),可推测：,变式3. 已知数列an中a12，an1( 1)(an2)，n1,2,3，. (1)求an的通项公式； (2)若数列bn中b12，bn1 ，n1,2,3， 证明： bna4n 3，n1,2,3，.,(2)用数学归纳法证明.,
10、【方法规律】 1根据数列an的递推关系求通项公式，一般有以下几种类型 (1)anan1d( q)型的，即为等差(等比)数列 (2)anan1f(n)( f(n)型的则用ana1(a2a1)(a3a2) (anan1)(ana1 )可求 (3)anpan1q型的，则用设辅助数列法，先变形为anp(an1)， 再设anbn，则bn即为等比数列,2根据Sn与an的关系求an，一般可把an变为SnSn1，变为Sn的递推式， 也可利用已知关系再写出Sn1与an1的关系，再利用SnSn1an，把已知 条件化为an之间的递推式 3应用性问题一般有细胞分裂问题，分期付款问题，工作效率问题，在解 题时要注意实际
11、问题与数列问题之间的相互转化.,(2009陕西)(满分12分)已知数列an满足a11，a22， an2 ， nN*. (1)令bnan1an，证明：bn是等比数列； (2)求an的通项公式.,【答题模板】 解答：(1)证明：b1a2a11， 当n2时，bnan1an an (anan1) bn1， bn是以1为首项， 为公比的等比数列,(2)由(1)知bnan1an ， 当n2时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1) 11 1 1 ， 当n1时， . an ,【分析点评】 1. 本题主要考查等比数列的定义和等差型数列求通项累加的思维方法，这是方程思想在数列中的具体应用；证明一个数列是等比数列可从定义入手，用题设的递推关系，目标明确；等差型数列求通项，利用ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)，得到数列的通项公式，是思维转化方法的具体应用,2对于 类型的递推关系求通项的一般解法是特征根法， 对于本题，由2x2x10，即(2x1)(x1)0，解得x1，x ，则 由an2 得 an2an1 (an1an) an2 an1an1 an,由知：an1an 由知： 得：,点击此处进入 作业手册,
