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1、第七章 逐步回归方法 引 言,在气象预报中，对预报量的预报常常需要从 可能影响预报y的诸多因素中挑选一批关系较好 的作为预报因子，应用多元线性回归的方法建立 回归方程来做预报，但如何才能保证在已选定的 一批因子中得到最优的回归方程呢？逐步回归分 析方法就是针对这一问题提出的一种常用方法。 下面从提出这一方法的基本思路、这一方法的计 算过程出发来作介绍。,第一节 回归系数（预报因子）的显著性检验,在多元线性回归方程的建立中，尽管最后都作了方程的统计检验，但并不意味着在p个因子中，每个因子对预报量y的影响都是重要的。需要对每个因子进行考察，若某个因子对预报量y的作用不显著，那么在多元线性回归方程中
2、它前面的系数就可能近似为0，因此，检验某一因子是否显著等价于检验假设：,要对 作假设检验，自然就要寻找它的样本统计量 和与它有关的统计量的分布。 因为最小二乘估计的 是随机变量 的线性函数，由于这些随机变量是遵从正态分布，则 也遵从正态分布。,在假设条件成立下，统计量 遵从自由度为（1，n-p-1）的F分布,其中， 为矩阵 中对角线上第k个元素。 确定信度以后，查表求出标准值，若 ， 说明该因子方差贡献显著，保留该因子，否则可 以考虑从回归方程中剔除出去。,预报因子数目增多的优缺点： 优点： 一般而言，回归方程中包含的因子个数越多，回归平方和就越大，残差平方和越小，残差方差的估计就越小，预报值
3、的置信区间就越小，方程一般也较容易通过检验。 缺点： 但因子数增多，也给方程增加了不少与预报量关系不大的因子，给预报带来下面三个明显缺点：,逐步回归的三种方案,1、逐步剔除方案 2、逐步引进方案 3、双重检验的逐步回归方案,逐步剔除法,1、概念： 从包含全部变量的回归方程中逐步剔除不显著的因子。 2、方案： 假定有4个预报因子，首先用这4个因子 建立回归方程，然后对每个因子检查 的大小。,因为在做单个因子检验时， 上式中的分母是不变的(不同因子检验时)， 因此，只比较各因子的分子部分即可，从它 们中找出最小者作F检验。若检验结果显著， 则其余因子自然显著；若检验结果不显著， 则剔除这一因子，然
4、后对少一个因子的方程 重复上一过程。,3、因子的方差贡献 这一方案的步骤中每次仅比较统计量，这个统计量是十分重要的，常被称为因子的方差贡献，或称为偏回归平方和，记为 从 中选出方差贡献最小者，记 为 ，再作F检验，检验时使用下面的公 式,其中，l为检验时回归方程中所含因子个 数， 表示回归方程含l个变量时的残 差平方和。,4、 存在的三个问题 1）因子的方差贡献代表什麽样的意义? 2）为何不同时把几个不显著的因子从方程中剔除出去，而是要每次剔除一个? 3）在过程中，每剔除一个因子就要重新计算新方程中的回归系数，当因子较多时，计算量很大，如何解决?,我们知道,回归平方和是所有因子对预报量的总贡献
5、。所考虑的因子越多，回归平方和越大，若去掉一个因子，回归平方和只会减小，不会增加。减少的数值越大，说明该因子在回归中所起的作用越大，表明该因子越重要，可用此衡量该因子的方差贡献大小。下面介绍这个量的大小。,1,设 为l个变量 对应的回归平方和， 为l-1个变 量,即去掉第k个因子时的回归平方和 它们的差 就是去掉第k 个因子后，回归平方和的减少量。这 部分叫做偏回归平方和，可以衡量每 个因子在回归中所引起的作用的大小。,在剔除因子过程中，假如 方差贡献都比较小，我们只能剔除其中的最小者，而不应该全部去掉。因为这两个因子之间可能存在密切相关关系，剔除第一个因子后，其对y的影响可能很大程度转移到第
6、二个因子对y的影响上。所以回归平方和不会因此减小很多。但如果同时去掉两个因子，就会比较多的减少回归平方和，从而影响回归的精度。,2,新老回归系数之间的关系： 当剔除第k个因子后，,3,逐步引进方法 1. 概念 在一批待选的因子中，考查他们对预报量y的方差贡献，挑选所有因子中方差贡献最大者，经统计检验是显著的，进入回归方程。,如从 等因子中 考察哪个因子方差在一元回归方程中 贡献最大，故首先计算： 其中， 表示回归方程中无任何因 子时的回归平方和，此时为0。,假如在p个因子中， 的方差贡献最 大，记为 ，则据回归系数的检验 公式遵从F分布的统计量进行检验： 若显著，则引进该因子。,设到l步，方程
7、已有l个因子。若考虑从p-l个因 子中引进哪个变量时，还是要考察他们各个因 子引进后的方差贡献，仍选取最大者，记为 ，使用统计量 作检验，其中 表示在将要引入回归方 程中的l+1个因子时，回归方程的残差平方 和。如此在方程中逐个地引入因子。,注意： 这样得到的方程并不能保证其中所有因子都是显著的。因为各因子之间存在相关关系，所以引入新变量后，原有的变量就不一定仍然显著。,双重检验的逐步回归方案,上述两个方案各存在一定缺点：逐步剔除计算量大；逐步引入计算量小，但不一定保证最后的方程是“最优”的。 双重检验的基本思想：将因子一个个引入，引入因子的条件是该因子的方差贡献显著；同时，每引入一个新因子，
8、要对老因子逐个检验，将方差贡献变为不显著的因子剔除。,方法： 利用求解线性方程中求解求逆同时并行 的方法，使得在计算因子方差贡献和求解 回归系数同时进行。 优点： 计算简便，由于每步都作检验，保了 最后所得方程中所有因子都是显著的。,逐步回归方法的一般步骤和计算公式,第一步 准备工作 从标准化变量出发，建立求标准回归系数的标准方程组。 将系数矩阵化为相关矩阵R，并与常数矩阵放在一起组成增广矩阵，同时为了检验的方便，又在此矩阵中添上了一行（ ），组成一个方阵，记为 ，假定有p个待选因子，并开始作逐步回归计算。,第二步 引入因子 从p个待选因子 中考虑引一 个因子进入回归方程，建立每个因子的回归
9、方程： 选方差贡献最大的，然后计算引进后的标准回 归系数。假定在前l步中已引入l 个因子，考虑 p-l个未引入的因子中的方差贡献时，计算第k 个因子方差贡献的公式为,计算中可利用前l步消去求逆的结果，即用在 作l次消去求逆变成 矩阵后阵中的元素。 如果发现第k个因子方差贡献最大，即 则用它进一步作下面的显著性检验，这时利用 下面统计量作检验。,在显著性水平 下，若 ， 则认为该因子方差贡献显著，引入该因 子。,检验显著后，认为可以引进到方 程中，然后对该因子所对应的列进行 消去，并求出引进该因子后回归方程 的标准回归系数。,第三步 剔除因子 当后来引入因子后，原来已引入的因子方差贡献会发生变化
10、，可能变为不显著的，要进行剔除。剔除的标准也可利用统计检验进行。 仅在第三个因子引入后才考虑剔除。,假定方程中已引入l个因子，现在考虑在 方程中各个因子所起的作用，即它们的方差 贡献。设第k个因子为最小，即 利用下面的统计量进行显著性检验,在显著性水平 下，若 ，则 认为该因子方差贡献不显著，可剔除。,第四步 计算结果 设结果引入了l个因子进入回归方程， 消去过程从 变到 ，则回归方程为 其中，标准回归系数为 如果要化为距平形式的回归方程，则计算,这时距平形式的残差平方和为、 回归平方和为 复相关系数为 回归方程的均方差无偏估计量为 可进行预报值的置信区间估计。,引入 剔除,1,4,2,3,注意：上一步刚引入的变量下一步不可能剔除；上一步刚剔除的变量下一步不可能引入，使得前三步可以连续引入三个变量。,
