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1、14 生活中的优化问题举例,能利用导数知识解决实际生活中的最优化问题,自学教材p34-36,学习目标,重点：利用导数知识解决实际中的最优化问题 难点：将实际问题转化为数学问题，建立函数模型,1、实际问题中的应用.,在日常生活、生产和科研中,常常会遇到求函数的 最大(小)值的问题.建立目标函数,然后利用导数的方法求最值是求解这类问题常见的解题思路.,在建立目标函数时,一定要注意确定函数的定义域.,在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使 的情形,如果函数在这个点有极大(小)值, 那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值. 这里所说的也适用于开区间或无穷区间.,满足上述情况的函数我
2、们称之为“单峰函数”.,3、求最大（最小）值应用题的一般方法,(1)分析实际问题中各量之间的关系，把实际问题化为数学问题，建立函数关系式，这是关键一步。,(2)确定函数定义域，并求出极值点。,(3)比较各极值与定义域端点函数的大小， 结合实际，确定最值或最值点。,2、实际应用问题的表现形式，常常不是以纯数学模式反映出来。,首先，通过审题，认识问题的背景，抽象出问题的实质。 其次，建立相应的数学模型, 将应用问题转化为数学问题,再解。,优化问题,用函数表示数学问题,用导数解决数学问题,优化问题的答案,建立数学模型,解决数学模型,作答,利用导数解决优化问题的基本思路：,一、选择题 1曲线yln(2
3、x1)上的点到直线2xy30的最短距离为 ( ) 答案 A,2以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为 ( ) A10 B15 C25 D50 答案 C,3用总长为6m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为34，那么容器容积最大时，高为 ( ) A0.5m B1m C0.8m D1.5m 答案 A,二、填空题 4如图所示，一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积一定，窗户周长最小时，x与h的比为_ 答案 11,5设某银行中的总存款与银行付给存户的利率的平方成正比，若银行以10%的年利率把总存款的90%贷出，同时能获得最大利润，需要支付给
4、存户的年利率定为_ 答案 6% 解析 设支付给存户的年利率为x，银行获得的利润y是贷出后的收入与支付给存户利息的差，即ykx20.90.1kx2x0.09kx2kx3(x0)，y0.18kx3kx2，由y0，得x0.06或x0(舍去) 当x(0,0.06)时，y0，当x(0.06，)时，y0，故当x0.06时，y取最大值,例1 在边长为60cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？,分析 根据所给几何体的体积公式建模 解析 设箱高为xcm，则箱底边长为(602x)cm，则得箱子容积V是x的函数，
5、V(x)(602x)2x(00， 当10x30时，V(x)0.,当x10时，V(x)取极大值，这个极大值就是V(x)的最大值 答：当箱子的高为10cm，底面边长为40cm时，箱子的体积最大 点评 在解决实际应用问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只需根据实际意义判定是最大值还是最小值不必再与端点的函数值进行比较,已知圆柱的表面积为定值S，求当圆柱的容积V最大时圆柱的高h的值 解析 设圆柱的底面半径为r，高为h， 则S圆柱底2r2，S圆柱侧2rh，,例2 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km
6、，两厂在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？,分析 根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变元，构造相应的函数关系，通过求导的方法或其他方法求出函数的最小值，可确定点C的位置,解析 解法1：根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，设C点距D点xkm，则 BD40，AC50x， 令y0，解得x30. 当00.,因此函数在x30(km)处取得最小值，此时AC50x20(km) 供水站建在A，D之间距甲厂20km处，可使水管费
7、用最省,点评 解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化、形式化、抽象成数学问题，再划归为常规问题，选择合适的数学方法求解对于这类问题，学生往往忽视了数学语言和普通语言的理解与转换，从而造成了解决应用问题的最大思维障碍运算不过关，得不到正确的答案，对数学思想方法不理解或理解不透彻，则找不到正确的解题思路，在此需要我们依据问题本身提供的信息，利用所谓的动态思维，去寻求有利于问题解决的变换途径和方法，并从中进行一番选择,分析 根据题意，月收入月产量单价px，月利润月收入成本px(50000200x)(x0)，列出函数关系
8、式建立数学模型后再利用导数求最大值,答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元 点评 建立数学模型后，注意找准函数的定义域，这是此类题解答过程中极易出错的地方,三、解答题 6如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？ 解析 设广告的高和宽分别为xcm，ycm，,当x140时，y175.即当x140，y175时，S取得最小值24500，故当广告的高为140cm，宽为175cm时，可
9、使广告的面积最小,令S0得x140，令S0得20x140. 函数在(140，)上单调递增， 在(20,140)上单调递减， S(x)的最小值为S(140),小结作业,1.解决优化问题的基本思路：,优化问题,2.解决优化问题的实质是将实际问题化归为函数的最值问题来处理，其探究过程是一个典型的数学建模过程.对目标函数的最值，要根据函数式的特点，用适当的方法求解，有时用基本不等式或二次函数图象求最值比用导数更方便.,3.对优化问题中的函数关系，要注意根据实际背景确定函数的定义域，如果目标函数在定义域内只有一个极值点，则这个极值点一般就是最值点.,练习1(课本第34页)： 学校或班级举行活动，通常需要
10、张贴海报进行宣传现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为间 ,上、下两边各空2dm左、右两边各空1dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白的面积最小？,则有 xy=128，（）,另设四周空白面积为，,则,（）,由（）式得：,代入（）式中得：,x,y,2,解法二：由解法(一)得,解:设箱底边长为x cm，,箱子容积为V=x2 h,例1 在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？,则箱高,V =60x3x/2,令V =0，得x=40, x=0,(舍去),得V (40)=16000,
11、答：当箱底边长为x=40时,箱子容积最大，最大值为16000cm3,在实际问题中，如果函数 f ( x )在某区间内 只有一个x0 使f (x0)=0,而且从实际问题本身又可 以知道函数在 这点有极大(小)值，那么不与端点 比较， f ( x0 )就是所求的最大值或最小值. (所说区间的也适用于开区间或无穷区间),例2. 要生产一批带盖的圆柱形铁桶，要求每个铁桶的容积为定值V，怎样设计桶的底面半径才能使材料最省？此时高与底面半径比为多少？,解:设桶底面半径为R,因为S(R)只有一个极值,所以它是最小值。,答：当罐高与底的直径想等时，所用材料最省。,例3.已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式
12、为C=100+4q, 价格p与产量q的函数关系式为 求产量q为何值 时,利润L最大。,分析:利润L等于收入R减去成本C,而收入R等于产量乘价格.由此可得出 利润L与产量q的函数关系式,再用导数求最大利润.,求得唯一的极值点,因为L只有一个极值点,所以它是最大值.,答:产量为84时,利润L最大.,解:设DA=xkm,那么DB=(100-x)km,CD= km.,又设铁路上每吨千米的运费为3t元,则公路上每吨千米的运费为5t元.这样,每吨原料从供应站B运到工厂C的总运费为,令 ,在 的范围内有唯一解x=15.,所以,当x=15(km),即D点选在距A点15千米时,总运费最省.,注:可以进一步讨论,
13、当AB的距离大于15千米时,要找的 最优点总在距A点15千米的D点处;当AB之间的距离 不超过15千米时,所选D点与B点重合.,解:设DA=xkm,那么DB=(100-x)km,CD= km.,又设铁路上每吨千米的运费为3t元, 则公路上每吨千米的运费为5t元. 这样,每吨原料从供应站B运到工厂C的总运费为,练习2 (课本第37页A组第6题) 已知:某商品生产成本与产量q的函数关系式为, 价格p与产量q的函数关系式为,求产量 q 为何值时，利润 L 最大？,课外思考: (课本第37页B组第1题) 某宾馆有个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为元时，房间会全部住满；房间的单价每增加元，就会有一个房间空闲如果游客居住房间，宾馆每天每间需花费元的各种维修费房间定价多少时，宾馆的利润最大？,解:设宾馆定价为(18010x)元时，宾馆的利润最大,解:设B(x,0)(0x2), 则 A(x, 4x-x2).,从而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积 为:S(x)=|AB|BC|=2x3-12x2+16x(0x2).,令 ,得,所以当 时,因此当点B为 时,矩形的最大面积是,
