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1、,返回总目录,Theoretical Mechanics,第三篇 动 力 学,第13章 动量定理,返回首页,Theoretical Mechanics,第13章 动量定理,目 录,13.1 动 量,13.2 力的冲量,13.3 动量定理,13.4 质心运动定理,Theoretical Mechanics,第13章 动量定理,13.1 动 量,返回首页,Theoretical Mechanics,13.1 动 量,13.1.1 质点的动量,质点的动量是用来度量质点机械运动的一个物理量。质点的动量等于其质量与速度的乘积，即,动量是矢量，动量的方向与速度方向相同。在国际单位制中，动量的单位为kgm/
2、s。,动量的量纲是,返回首页,Theoretical Mechanics,13.1 动 量,13.1.2 质点系的动量,返回首页,质点系的动量主矢：质点系中各质点动量的矢量和。简称质点系的动量,由运动学关系,将质心坐标公式 代入上式得,质系的动量等于质系的质量与质心速度的乘积，方向与质心速度方向相同。,Theoretical Mechanics,图示三种情形刚体的动量的计算：,c) 绕中心转动的均质轮，其动量为零。,13.1 动 量,13.1.2 质点系的动量,返回首页,b),a),c),Theoretical Mechanics,如果质点系是由多个刚体组成，则质点系动量为,mi、vCi分别为
3、第 i 个刚体的质量和它的质心的速度。,13.1 动 量,13.1.2 质点系的动量,返回首页,Theoretical Mechanics,第13章 动量定理,13.2 力的冲量,返回首页,Theoretical Mechanics,13.2 力的冲量,返回首页,力的冲量：力与其作用时间的乘积。它表明了力对物体作用的时间积累效应。,Theoretical Mechanics,13.2 力的冲量,13.2.1 常力的冲量,常力的冲量为常力矢量与其作用时间的乘积,冲量是矢量，其方向与作用力的方向相同。在国际单位制中，冲量的单位与动量的单位相同，为kgm/s。,冲量的量纲是,返回首页,Theoret
4、ical Mechanics,13.2 力的冲量,13.2.2 任意力的冲量,返回首页,元冲量：任意力（常力或变力）在微小时间间隔dt内的冲量。,任意力在有限时间内（t1至t2）的冲量可用一个矢量积分表示,Theoretical Mechanics,13.2 力的冲量,13.2.3 力系的冲量,返回首页,力系的冲量：作用于质点系上力系的各力冲量的矢量和，即,交换求和与积分的顺序，得,力系的冲量等于力系的主矢在同一时间内的冲量。,式中 为力系的主矢。,Theoretical Mechanics,第13章 动量定理,13.3 动量定理,返回首页,Theoretical Mechanics,天津大学
5、,13.3 动量定理,13.3.1 质点的动量定理 13.3.2 质点系的动量定理 13.3.3 流体在管道中流动时的动压力 13.3.4 动量守恒,返回首页,Theoretical Mechanics,13.3 动量定理,13.3.1 质点的动量定理,返回首页,设质量为m的质点在力F 的作用下运动，速度为v：,由牛顿第二定律：,质量是常量时，有：,质点动量定理的微分形式：质点的动量对时间的一阶导数等于作用在质点上的力。,质点动量定理的积分形式：质点在 t1 至 t2 时间内动量的改变量等于作用于质点的合力在同一时间内的冲量。,乘以dt,Theoretical Mechanics,13.3 动
6、量定理,13.3.2 质点系的动量定理,返回首页,作用于该质点上的力有外力 和内力 。,将n个方程相加，得,质点系动量定理的微分形式：质点系动量对时间的一阶导数，等于作用于该质点系上所有外力的矢量和。,根据动量定理的微分形式，有,取质点系任一质量为mi的质点，速度为v：,Theoretical Mechanics,在瞬时t1至t2这段时间内积分，得,质点系动量定理的积分形式：质点系在t1至t2时间内的动量的改变量等于作用于该质点系的所有外力在同一时间内的冲量的矢量和，即,13.3 动量定理,13.3.2 质点系的动量定理,返回首页,Theoretical Mechanics,13.3 动量定理
7、,13.3.3 流体在管道中流动时的动压力,以定常流动流体动约束力的确定为例，说明质点系动量定理在流体动力学中的应用。一般流体流动的性质是十分复杂的，在此只讨论不可压缩的理想流体，而且流动是定常的，即流体各质点流经空间同一固定点的速度不随时间改变。,返回首页,Theoretical Mechanics,图示管道中充满不可压缩定常流动的流体。管道壁和进出口截面形成一边界面，称为控制面，取控制面ABCD内的流体为研究对象。设进出口截面面积分别为A1和A2，流体速度分别为v1和v2，流体密度为是常量，体积流量Q也为常量。根据连续流条件,在瞬时 t ，所研究流体的动量为KABCD。经过 t 时间，流体
8、运动到了abcd 位置，其动量为 Kabcd 。在 t 时间间隔内质点系动量的增量为dK,13.3 动量定理,13.3.3 流体在管道中流动时的动压力,返回首页,Theoretical Mechanics,等号两边同时除以dt,研究流体所受到的外力有：流体的重力 W ，管壁的反力 FN，以及进口截面 AB 、出口截面CD上的流体压力F1、F2（这些力都是分布力的合力）。,13.3 动量定理,13.3.3 流体在管道中流动时的动压力,Theoretical Mechanics,由动量定理得,它表明：在稳定流动中，管内液体在单位时间流出的动量与流入的动量之差，等于作用在管内液体上的体积力与表面力的
9、矢量和（主矢），这就是关于液体流动的欧拉公式。,13.3 动量定理,13.3.3 流体在管道中流动时的动压力,返回首页,Theoretical Mechanics,得到附加动约束力F N的表达式,若将管壁对于液体的约束力FN分为两部分。 为液体动量不改变时，管壁对液体的静约束力； 为对应于动量变化而产生的附加动约束力。则有,流量、进出口截面处的速度矢量差越大，附加动约束力越大。因此，设计大流量或高速流动管道时，应考虑附加动约束力的影响。,13.3 动量定理,13.3.3 流体在管道中流动时的动压力,返回首页,Theoretical Mechanics,13.3 动量定理,例 题,例 一水柱以速
10、度 v 沿水平方向射入一光滑叶片。设水柱的射入速度与叶片相切，水柱的截面积为A，密度为 ，水柱离开叶片时的倾角为，不计水柱的重量。若叶片固定不动，求叶片对水柱的附加动约束力主矢的分量Fx和Fy。,解：选择叶片上的水柱为研究对象。因AB、CD两处截面积A和密度 均相等，所以v1v2v，叶片仅改变水流速的方向。,返回首页,Theoretical Mechanics,13.3 动量定理,例 题,向x 轴投影,向y 轴投影,返回首页,Theoretical Mechanics,13.3 动量定理,13.3.4 动量守恒,如果外力系的主矢量为零，即,如果外力系的主矢量在某一坐标轴上的投影为零，即,K =
11、 常矢量,=常量,返回首页,Theoretical Mechanics,几点讨论：,质系动量的变化只决定于外力的主矢量。内力不能改变系统的总动量，只能使系统中各质点间彼此进行动量交换。只有作用于质点系上的外力才能改变质点系的动量。 动量守恒方程中所用的速度必须是绝对速度。要确定一个正方向，必须按动量投影的正负去计算。在动力学问题中，动量守恒定律常用来求速度。,13.3 动量定理,13.3.4 动量守恒,返回首页,Theoretical Mechanics,13.3 动量定理,例 题,例 质量为mA的小棱柱体A在重力作用下沿着质量为mB的大棱柱B的斜面滑下，设两柱体间的接触是光滑的，其斜角均为，
12、如图。若开始时，系统处于静止，不计水平地面的摩擦。试求此时棱柱体B的加速度aB。,解：由整体受力图看出， ，所以整个系统在 x 方向的动量守恒。,返回首页,Theoretical Mechanics,13.3 动量定理,例 题,返回首页,初始时系统静止，即,Theoretical Mechanics,式中还包含一个未知量ar。因此，必须再建立一个方程。由题设条件，棱柱体A 沿棱柱体B 滑下，由动能定理,13.3 动量定理,例 题,返回首页,Theoretical Mechanics,将上式对t求导，且 ，求解得,13.3 动量定理,例 题,返回首页,Theoretical Mechanics,
13、例 真空中斜向抛出一物体，在最高点时，物体炸裂成两块，一块恰好沿原轨道返回抛射点O，另一块落地点的水平距离OB则是未炸裂时应有水平距离OB0的两倍，求物体炸裂后两块质量之比。,13.3 动量定理,例 题,返回首页,Theoretical Mechanics,解：设炸裂后两物块的质量分别为m1与m2，炸裂前共同速度为v，炸裂后的速度分别为v1与v2。,由于 ，所以系统在 x 方向动量守恒。,13.3 动量定理,例 题,设下落的水平距离,返回首页,Theoretical Mechanics,由于炸裂前后，水平方向的运动为匀速运动，水平方向运动的距离正比于水平速度，即,同理,所以解得,13.3 动量
14、定理,例 题,返回首页,Theoretical Mechanics,第13章 动量定理,13.4 质心运动定理,返回首页,Theoretical Mechanics,天津大学,13.4 质心运动定理,返回首页,将质点系的动量K= =MvC代入动量定理的表达式,质心运动定理：质点系的质量与其质心加速度的乘积等于作用于质点系的外力的矢量和。,质心运动定理描述的是质点系随同质心的平行移动。,Theoretical Mechanics,天津大学,（1）质点系质心的运动，可以视为一质点的运动，如将质系的质量集中在质心上，同时将作用在质系上所有外力都平移到质心上，则质心运动的加速度与所受外力的关系符合牛顿
15、第二定律。,几点讨论,13.4 质心运动定理,返回首页,Theoretical Mechanics,天津大学,为了某种工程需要，人们想削去一座山头或想拆掉一座楼房而不影响周围的建筑，往往采用定向爆破。 定向爆破时，为了确保周边一定范围以外区域内建筑物以及人身安全，必须预先计算爆破飞石散落的地点。,13.4 质心运动定理,返回首页, 实例现象的解释,定向爆破的飞石,Theoretical Mechanics,天津大学,定向爆破的飞石,在定向爆破中，爆破时质系中各质点的运动轨迹不同，但质心的运动轨迹近似一抛物线，由此可初步估计出大部分物块堆落的地方。, 实例现象的解释,13.4 质心运动定理,返回
16、首页,Theoretical Mechanics,天津大学,13.4 质心运动定理,返回首页,定向爆破,Theoretical Mechanics,天津大学,（2）质系的内力不影响质心的运动，只有外力才能改变质心的运动。,13.4 质心运动定理,返回首页,Theoretical Mechanics,天津大学,发动机气缸内油气混合物燃烧产生的爆炸力，对汽车来说是内力。膨胀的气体推动发动机活塞运动，通过传动机构最终将扭矩传递到轮胎，使轮胎产生转动。内力不能影响质心的运动，只能改变系统内各质点的相对位置。 若地面与主动轮轮胎之间有摩擦，则当主动轮轮胎转动时，地面会产生阻碍轮胎转动的摩擦力，这个摩擦力就是使汽车前进的动力。 反之，若地面与主动轮轮胎之间无摩擦或摩擦很小，即使发动机产生了很大的扭矩，地面也无法提供足够的摩擦力推动车辆前进。此时轮胎会发生空转或打滑现象。,
