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1、基本极限定理,第五章,切比雪夫不等式与大数定律,中心极限定理,第五章,切比雪夫不等式与大数定律,第一节,一、切比雪夫不等式,二、大数定律,即,引 言,频率的稳定性,用频率代替概率的科学性.,1.背景:,2.内容:,用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的,一系列定理称为大数定律.,3.刻画:,定理1:,设X的数学期望,方差,则,有,或,注:,切比雪夫不等式常用来在E(X)和D(X)已知时,对事,一、切比雪夫不等式,例1.,已知我校有1万盏电灯,夜晚每一盏灯开灯的概率,均为0.8,且它们开关与否相互独立,试用切比雪夫不等式,估计夜晚同时开灯7800-8200盏之间的概率.,解:,设X表示夜晚开灯数
2、,则,又因为E(X)=8000,D(X)=1600,则由切比雪夫不,这说明只需供应8200盏灯的电力就能以相当大的概,率保证这1万盏灯的正常使用.,等式知,1.切比雪夫大数定律,二、大数定律,定理2:,设相互独立的随机变量,具有有,限的期望和方差,若存在常数C使,则,有,即,3.辛钦大数定律,定理4:,注:,辛钦大数定律要求同分布但并不要求方差存在.,设相互独立的随机变量,服从相同的分布,且,则有,第五章,中心极限定理,第二节,一、独立同分布中心极限定理,二、棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理,设独立随机变量序列,则当n很大时,和方差都存在,2.内容:,3.刻划:,的期望,1.背景:,若一个量受到大
3、量独立的随机因素综合影响,而每一因素在总影响中所起的作用并不大,则这个量通常,近似服从正态分布.,引 言,设相互独立的随机变量,定理1:,(Levy-Lindeberg中心极限定理),一、独立同分布的中心极限定理,服从相,同的分布,且,则,有,即,例2.,设某食品用机器装袋,每袋净重的期望为100g,标,准差为4g,一箱装100袋,求一箱净重大于10100g的概率.,解:,同分布,且,而一箱净重,由独立同分布的中心极限定理可知:,所以,(独立同分布的中心极限定理的特殊形式),二、De Moivre-Laplace中心极限定理,定理2:,且,则有,注:,设,当n比较大时,对任意的a b有,的次数
4、,例3.,保险公司多年统计资料表明,因被盗理赔的用户占,20%,以X表示100个理赔用户中因被盗理赔的个数,试写出,X的概率分布,并利用拉普拉斯中心极限定理,求被盗理赔,用户大于14且不多于30户的概率近似值.,解:,(1),易知,则X的分,(2),已知n=100,p=0.2,由拉普拉斯中心极限定理得,布列为,内容小结,1.利用切比雪夫不等式进行近似计算；,2.切比雪夫大数定律；,3.伯努利大数定律；,4.辛钦大数定律；,6.独立同分布的中心极限定理；,7.德莫夫-拉普拉斯中心极限定理.,5.利用中心极限定理进行近似计算；,切比雪夫(1821 1894),切比雪夫,俄罗斯数学家.,1821年5
5、月,生于俄国卡卢加,1894年12月卒于彼得堡.,他出身于贵族家庭,左脚生来有残疾,因而童年时代的他经常独坐家中,养成了,在孤寂中思索的习惯.,16岁进莫斯科大学,1841年因方,程根的计算一文获银质奖章.,1847年进彼得堡大学,两,年后获博士学位,1859年当选为彼得堡科学院院士.,切比雪夫一生发表了70多篇科学论文,论、概率论、函数逼近论、积分学等方面.,内容涉及数,辛钦(1894 1959),辛钦,现代概率论的奠,苏联数学家,基者之一,1894年7月生于莫斯科,1959年,11月去世.,1916年毕业于莫斯科大学,先,后在莫斯科大学和苏联科学院斯捷克洛,夫数学研究所等处工作.,1939
6、年当选为苏联科学院通讯,院士,他还是俄罗斯教育科学院院士.,辛钦在函数的度量理论、数论、概率论、信息论等,方面都有重要的研究成果.,在分析学、数论及概率论对,统计力学的应用方面也有重要贡献.,拉普拉斯(1749 1827),拉普拉斯,法国数学家和天文学家,1749年3月生于博蒙昂诺日,1827年3月卒,于巴黎.,他一生在科学上的贡献仅次于牛,顿而居第二.,拉普拉斯是天体力学的主要奠基人,是天体演化学的,创立者之一,是分析概率论的创始人,是应用数学的先躯.,他发表的天文学、数学和物理学的论文有270多篇,专著,合计有4000多页,创造和发展了许多数学方法,以他的名,字命名的拉普拉斯变换、拉普拉斯定理和拉普拉斯方程,在科学技术的各个领域有着广泛的应用.,
