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1、特殊的积分不等式及其在高等数学中的应用主要内容简介： 积分不等式在高等数学中有着重要的应用，因而得到大量的研究，并且取得了许多有价值的研究成果，但是以前对不等式的研究多局限于几种常见的积分不等式，而且对积分不等式在高等数学中的应用的研究较少，针对这些情况，本文着重对Putnam积分不等式、Chebyshev 积分不等式、Kantorovich积分不等式和Gronwall积分不等式展开讨论，并对其在高等数学中的应用展开更为深入细致的研究,以期为高等数学教学与研究提供新的素材和方法. 特殊的积分不等式及其在高等数学中的应用 摘 要:积分不等式在高等数学中有着广泛的应用，并已经得到了很多深刻的研究结
2、果，本文分别针对Putnam积分不等式, Chebyshev 积分不等式,Kantorovich积分不等式和Gronwall积分不等式这四类积分不等式展开讨论，观察它们的证明及其推论以及它们在高等数学中的应用，力图进一步明确积分不等式与高等数学的密切联系，为高等数学的教学与研究提供新的素材与方法.关键词:积分不等式 高等数学 应用 积分不等式在高等数学中有着重要的应用，因而得到大量的研究，并且取得了许多有价值的研究成果，但是以前对不等式的研究多局限于几种常见的积分不等式，而且对积分不等式在高等数学中的应用的研究较少，针对这些情况，本文着重对Putnam积分不等式、Chebyshev 积分不等式
3、、Kantorovich积分不等式和Gronwall积分不等式展开讨论，并对其在高等数学中的应用展开更为深入细致的研究,以期为高等数学教学与研究提供新的素材和方法.1、Putnam不等式1.1 Putnam不等式的证明及其推论 定理1 设是上的可微函数且当时，则有证 令=因为,故我们只要证在（0，1）内，事实上由微分中值定知又由题设，故因此要证明，只要证明记，那么因此因此我们得到从而命题成立，证毕. 我们可以把这个命题作如下推广. 推论1 设是上的可微函数,且当时则其中为常数. 证 令有，故我们只要证明，而这等价于，由上面的定理1知这是成立的，故推论得证.注1 如果，那么命题中的不等式取反号，
4、这可以从上面的推论1证明中看出.1.2、Putnam不等式在高等数学中的应用例1 证明 证令, 可利用Putnam不等式得， 不等式右边整理后可得因此例2 证明 . 证令因为是上的可微函数，且当时，则可利用Putnam不等式得不等式右边整理后得于是不等式两边同乘以8得注2 Putnam不等式常用于证明高等数学中满足下列条件的积分不等式（1）被积分的函数在上是可微的；（2）当时，有且.2、Chebyshev不等式2.1 Chebyshev不等式的证明 定理2 设函数在上连续，并设是正的，而在上是单调增加的，则有下列的Chebyshev不等式 （1）成立.证 任取，由单调性，有上式两边对积分，得，
5、将不等式展开，两边同乘并对积分得 将变量换成表示得证毕.注3 如果都是单调减少的，则不等式（1）要变号.2.2 Chebyshev不等式在高等数学中的应用例3设在上连续，且单调减少，证取上单调性相反，则即即注4 若取由于单调性相反，利用不等式时不等号方面要改变符号.例4 证明证由于在上单调性相同，故由不等式得即 （2） 即 （3）联立(2)(3)即得注5 利用Chebyshev不等式证明高等数学中的积分不等式问题时要注意下列三点：(1) 若积分不等式中已含有形如的式子，则要在给定的区间上是连续函数,是正的且在给定的区间上单调性相同，则可利用Chebyshev不等式进行证明;(2) 若积分不等式
6、中不含有形如的式子，有的积分不等可通过人为的构造出含有该形式的式子，使其满足（I）中的条件，则也可利用Chebyshev不等式进行证明;(3) 对于形如的式子，注意在给定区间上同时调增加和同时单调减少两种情况下，利用Chebyshev不等式进行证明时不等号的改变情况.3、Kantorovich不等式3.1 Kantorovich不等式的证明及其推论 定理3 设在上是一个正值的连续函数，记，那么有 (4)证 由题设，两边对积分得 而由算术几何平均值不等式得从而得上式两边平方并同除以，我们就得到（4）式成立,证毕.推论2 在中插入个点，设为个实数且满足，令,则记则定理变为注6 推论2说明所建立的不
7、等式被称为Kantorovich不等式的一种积分形式.3.2 Kantorovich不等式在高等数学中的应用例5 证明 证 等价于令则 因为是上的一个正值的连续函数，则可利用Kantorovich不等式得因为故即例6 证明 证等价于令则因为是上的一个正值的连续函数，故可利用Kantorovich不等式得因为故 即 证毕.注7 Kantorovich不等式常用于证明满足下列条件的积分不等式(1) 被积分函数在某个区间上是连续的正函数；(2)函数在给定区间内存在最大值和最小值.4、Gronwall不等式的证明及其推论4.1 Gronwall不等式的证明及其推论定理4设与为区间上的连续非负实数值函数
8、,为非负常数，对有则当时有 证 （1）当因为非负连续实数值函数，而两边同时在到上积分得即所以.(2)当时，此时，而，为非负连续实数值函数，则,有界,不妨设,所以.只有时上式恒成立.综上所述，定理成立.推论3设与是区间上的非负实数值函数，常数和非负，若对有则当时.4.2 Gronwall不等式在高等数学中的应用例7 如果在：，上连续且关于满足Lipschitz条件，方程有在区间上的连续解且满足初始条件：，这里.证明：满足这样初始条件的解是唯一的.证因为所给的微分方程等价于积分方程设满足初始条件的解还有则（为Lipschitz常数），由定理4（）知所以.即证明了方程解的唯一性.例8设在全空间连续，
9、对满足局部Lipschitz条件且，为常数.则对Cauchy初值问题的解的区间均为.证只需证明在任一有限区间上，Cauchy初值问题的解都是有界的即可.假设存在有限数使得解在上无界，当时有由定理4得.这与在上无界矛盾，因此假设不成立，所以解向右对可延拓至,同时可证向左对可延拓至.注8 Gronwall不等式适用于解决高等数学中有关求证解的唯一性和解的区间方面的问题. 本文主要讨论了Putnam积分不等式, Chebyshev 积分不等式,Kantorovich积分不等式和Gronwall积分不等式及其在高等数学中的应用，之所以选择这四种特殊的积分不等式是因为这四种特殊的积分不等式与高等数学的联
10、系比较密切，而且这四种特殊的积分不等式在不等式理论中有极重要的应用，探讨这些重要不等式的性质及其应用对于深刻理解积分理论和不等式理论有很好的借鉴作用，另外还有几种积分不等式与高等数学的联系比较密切，限于篇幅暂不讨论.参考文献1魏章志,梅宇.不等式及其应用.宿州师专学报,2003.1.65-662汪明瑾.不等式的积分形式.高等数学研究,2005.1.18-213武玺,林明花.积分性不等式妙用.高等数学研究,2006.1.46-484薛昌兴.一个积分不等式及其应用.甘肃教育学院报,2003.10.1-45张新燕.几个常见的积分不等式.数学学习与研究（科研版）,2009.3.856王成新,王梅.不等式的推广及应用.泰山学院学报,2003.5.17-207乔希民.积分不等式的加强式及应用.宝鸡文理学院学报,2004.12.266-267后记：感谢各位指导老师的精心指导和一次又一次的修改，使得本文从知识层次上上了一个台阶，并且使本文有了一定的阅读价值。 第11页 共11 页
