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1、摘要通过太阳影子定位技术可以确定视频的拍摄地点和时间，为拍摄出更好的视频，掌握太阳影子的变化规律就变得尤为重要。本文主要综合运用了地理学、几何学、统计学、数学分析和高等代数等知识，并利用MATLAB,SPSS和mathematica等计算机软件，通过建立数学模型来研究影子长度的变化特征,进一步确定视频的拍摄地点和时间。针对问题一，首先我们通过分析影子长度的影响因素得到与影子长度的关系（见表达式六）整理计算之后，就得到了影子长度的数学模型。然后我们通过分析他们之间的关系，再利用MATLAB编程，得到了影子长度关于各个参数的变化规律（见图3到图7）。其次根据我们建立的模型，利用MATLAB编程画出
2、了给定时间天安门广场3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线（见图8），然后在考虑折射率的情况下又画了一条变化曲线（见图9），最后进行了误差分析（见图10）。针对问题二，我们采用了测试分析法（数据分析法和计算机仿真相结合），通过分析各个参量之间的关系，先以影长为目标做回归，用模型一的模型，通过SPSS进行拟合得到多组数据，再用MATLAB进行检验得到符合的两组经纬度。然后我们又以太阳方位角为目标做回归,得到模型（见表达式12），其计算方法与影长做回归目标时一样。我们分步做了两次拟合，先用MATLAB拟合出经度，再做回归模型（见表达式14）最后得到经纬度和杆长。综上可知，肯定有一地点是在海南，还有一
3、个地点可能在云南。 针对问题三，我们用问题二中的多项式回归，得到回归模型（见表达式17和20）利用附件二得到的经纬度为和杆长 ，得到天数。利用附件三得到的经纬度为 和杆长 ，得到天数 针对问题四，首先运用MATLAB软件，根据画面灰度，运用MATLAB软件，把视频转化成二值图，求得影子端点的像素坐标，然后根据相似原理，把像素坐标转化成水平面上的坐标（消去了视角的影响），进而求得影子的长度。用以上方法求得的数据，运用多次拟合的方法，得到该地的经纬度为，日期未知时，得到的经纬度与其相似。【关键字】 影子长度 多项式拟合 太阳方位角 画面灰度 1、 问题重述如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据
4、分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用建立的模型画出已知时间天安门广场3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。4先利用软件提取视频
5、中的数据，再根据数据改善模型，求出若干个可能的拍摄点。当拍摄日期未知时，确定出拍摄地点与日期。2、 问题分析由题可知，本题具体分析如下：问题一：本题要求建立影子长度变化的数学模型，这需要我们给出影子长度变化的影响因素。查阅文献了解到各个参量的定义及其表达式，然后联立即可得到影子长度变化的数学模型。分析影子长度关于各个参数的变化规律，首先我们要在保持其他参数不变的情况下，只改变一个参数，来研究影子长度的变化规律。对于具体问题的变化曲线，因为参数的值已经给出，带入模型，利用软件编程就可以画出它的变化曲线。问题二：本题要求根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地
6、点，然后将模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。先用附件一中给的数据即顶点的与坐标，计算出影子的长度,然后用SPSS做回归拟合，得出的数据再用MATLAB进行检验。问题三：问题三是问题二的拓展，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期，比问题二多了一个未知量，我们可以采用问题二的模型和计算方法来解决本问题。问题四：问题四是前两问的具体应用，只要求出视频中影子的长度就可以运用前面的模型求解。对于求取视频中的影长，可以用MATLAB软件编写程序，设定恰当的灰度阀值，把视频转化为二值图像。从图片右下角开始扫描杆子和方块（杆子底座），求得影子右端、杆子底部的坐标。由于是在三维空间中拍摄
7、的，图片中物体的长宽比与实际的长宽比不同，可以根据杆子底盘的长宽比求得物体实际的长宽比。根据相似度原理，由杆子的实际长度、图片中的像素维度等，求得像素与实际长度的比。最后，用影子右端、杆子底部的坐标、物体长宽比、像素与实际长度的比，求出影子的长度。得到上述数据之后，应用MATLAB进行多项式拟合，和应用SPSS软件进行非线性回归，两次拟合得到经纬度和日期。3、 基本假设（1） 一年是365天；（2） 地球表面是球表面；（3） 地球的公转是正圆；（4） 大气层有折射无厚度；（5） 视频中杆的底盘是正方形，不考虑厚度；（6） 杆没有厚度。四、主要变量的符号说明 为了便于描述问题，本文将问题中涉及的
8、主要变量用下列符号来表示(如下表1所示)，有些变量将在文中用到时陆续说明。符号代表的含义符号代表的含义杆长影子的长度太阳时太阳赤纬角当地的纬度时角太阳的高度角折射后的太阳高度角日期序号折射率太阳方位角 原始像素的高度球坐标系切平面的坐标系表1五、模型的建立与求解5.1问题一建模和求解5.1.1.影子长度变化的数学模型（1）太阳时：太阳时是指以太阳日为标准来计算的时间，时间的计量以地球自转为依据，地球自转一周，计24太阳时，当太阳达到正南处为12:00。太阳时可以分为真太阳时和平太阳时，平太阳时假设地球绕太阳是标准的圆形，钟表所指的时称为平太阳时（简称为平时），我国采用东经120度经圈上的平太阳
9、时作为全国的标准时间，即“北京时间”。（2）时角：时角是以正午12点为0度开始算，每一小时为15度，上午为负下午为正，即10点和14点分别为-30度和30度（因计算需要，把度数换算成了弧度）。因此，时角的计算公式为 (弧度） (1) (2)其中为太阳时，是当地时间与北京时间的时间差（单位：小时）。（3） 赤纬角:赤纬角也称为太阳赤纬，即太阳直射纬度，其计算公式近似为 (3)其中为日期序号，例如，1月1日为，10月22日为。（4） 太阳高度角：指某地太阳光线与该地作垂直于地心的地表切线的夹角。由图1可知，三点的坐标为由此可得： 即太阳高度角的计算公式 (4)其中为太阳高度角，为时角，为当时的太阳
10、赤纬，为当地的纬度(北京的纬度为北纬)。图1（5） 由图2可知，即 （5）图2（6） （6）将公式（1）（2）（3）带入（4），得出的值之后再代入（5）就能得到影子长度变化的数学模型（7）5.1.2影子长度关于各个参数的变化规律根据建立的数学模型，利用MATLAB编程（见附录），通过改变各个参数的值，观察影子长度的变化规律。（1） 首先，我们保持其他的变量不变，改变 的值，由图3我们可以看到每天的最短影子长度在一年内呈周期性变化。图3（2）接下来我们保持其他的变量不变，改变经度的值，我们选取了东经和东经。由图4可以知道东经的度数越小，影子最短的时刻越往后。图4（3）其次我们在保持其他的变量不变
11、，改变纬度的值，我们选取了北纬和北纬。由图5,图6可以知道北纬的度数越大，影子越长。图5图6（4）同样的，我们依然保持其他的变量不变，改变时间，由图7可以知道影子最短的时刻在中午附近，越远离正午，影子越长。图7（5）最后，我们依然保持其他的变量不变，改变杆长，由可知杆长与影子的长度成正比，即杆长越长，影子越长。5.1.3应用模型求解具体问题根据我们建立的模型，利用MATLAB编程画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线如图8所示。图8然后我们又考虑了折射率，根据 （8），得到的变化曲线如图9所示图9由图8和图9对比可以知道，是否考
12、虑折射率差别小于千分之三，所以画了误差图10以便更好的观察误差。图10折射率还与大气层的厚度有关，但考虑到公式的复杂程度，这里不作考虑。5.2. 问题二建模和求解5.2.1用一次拟合做回归5.2.1.1以长度为目标做回归根据问题一建立的数学模型（7）用附件一中给的数据即顶点的与坐标，计算出影子的长度,然后根据计算得到日期序号，然后利用SPSS以影长为因变量，不断给定杆长、纬度和一组初值做多次回归拟合(表达式见附录)，得到多组数据（部分数据在附录中给出），然后我们利用MATLAB进行检验。最后得到两组符合的拟合数据,经纬度表示就是经查阅地图可知这两个地点分别在海南岛上和云南省内。由于没有考虑太阳
13、方位角的问题，分不清方向，所以我们将会在接下来做改进。5.2.1.2以太阳方位角为目标做回归太阳方位角是太阳在方位上的角度，它通常被定义为从北方沿着地平线顺时针量度的角。由图11可知太阳向量和法线的坐标为且 （9）是正午的直射点，是杆的位置，是直射点，指向正东，指向正北，指向正上。在原坐标系上表示的是太阳的方向，切平面地表水平面（我们将其拿出来进行单独分析由于坐标系，过渡矩阵是在平面上的坐标。又因为图11由此可以得到然后结合各参量的表达式得到数学模型利用SPSS以为因变量不断给定杆长、纬度和一组初值做多次回归拟合,虽然我们考虑了太阳的方位角问题，但是画出的图形仍然存在误差。5.2.2用多次拟合
14、做回归5.2.2.1确定该地的经度首先我们根据附录一中所给的数据用MATLAB画出散点图，由高度角、方位角和天文知识可以知道拟合的多项式为偶函数（关于正午时刻对称），为了得到更加精确的结果，我们采用了四次多项式模拟，然后用多项式拟合（程序见附录）多项式为（13），模拟出全天（从早上九点到下午五点）杆的影子长度图12然后利用mathematica求出曲线的根和顶点，得出最短影子长度出现的时间，进而确定该地的经度。5.2.2.2以影子长度为目标做回归根据上面求出的经度，就可以确定时角的值，然后利用SPSS以影子长度为因变量不断给定杆长和纬度初值做多次回归拟合，拟合的回归方程为（14）由以上公式得其中 ，可以把 代入上式。由于我们版本的SPSS没有函数，所以我们将上面的回归方程化为（15）最后得到经纬度和杆长. 综上可知，肯定有一地点是在海南，杆也可能在云南。5.3. 问题三建模和求解5.3.1.1确定经度问题三是问题二的拓展，与第二问相比，该题的日期是未知量，即日期序号是未知量。所以这个问题
