1,第五节 本章概要与典型例题分析,一、内容概要,二、典型例题分析,2,齐次线性方程组,,（一）.齐次线性方程组的解的判定,有非零解,当且仅当 即系数矩阵 的列向量组线性相关；,只有零解,当且仅当 即系数矩阵 的列向量组线性无关；,2.当 时, 有非零解,当且仅当,3.当 时,必有非零解.,一 内容概要,3,4,5,（三).解齐次线性方程组 的基本步骤,① 对系数矩阵作初等行变换，化成行最简形阶梯矩阵;,② 假设行最简形阶梯矩阵中有 个非零行,则基础解系,中有 个解向量，选非主元所在列的变量为自由未知 量，写出对应的同解方程组;,③ 将自由变量看成 维向量空间中的向量，并分别 取为 维向量空间中的单位坐标向量,对应求出,个约束变量的值，求得所需的线性无关的解向量即为 一个基础解系,④ 由求得的基础解系，写出方程组的通解.,其中，第③，④两步可通过向量形式简化而得.,6,非齐次线性方程组,(一). 非齐次线性方程组有解的判定,7,8,(二)．非齐次线性方程组解的性质与结构,9,10,(三)．解非齐次线性方程组的基本步骤,11,12,例1 写出一个以,为通解的非齐次线性方程组,分析：解决此类问题的关键在于由已知的基础解 系求出其导出组方程．一般若已知某个齐次线性 方程组的一个基础解系为 ，可设方程组 为 .则,二. 典型例题分析,13,14,解 根据已知 可得,与此等价地可以写成,15,得,即,这就是一个满足题目要求的齐次线性方程组,16,17,的解，即,由,18,取,19,1. 若方程组Ax=b有无穷多解→Ax=0有非零解 2. 若方程组Ax=b有唯一解→Ax=0只有零解 3. 若方程组Ax=b无解→Ax=0无解 4. 若方程组Ax=0有非零解→Ax=b有无穷多解 5. 若方程组Ax=0只有零解→Ax=b有唯一解,例3 下列结论中正确的是,答案 1， 2,20,,例4 设线性方程组Ax=b有n个未知量m个方程，且r(A)=r, 则,A. r=m时,有解 B. r=n时,有唯一解 C. m=n时,有唯一解 D. rn时,有无穷多解,答案 A,21,例5 设四元非齐次线性方程组Ax=b有三个解向量u,v,w,且r(A)=3,u=(1,2,3,4),v+w=(0,1,2,3),则Ax=b的通解为,B.,C.,D.,A.,22,解 由非齐次线性方程组的解之差为对应的,齐次线性方程组的解, 则v-u, w-u为齐次方程,组的解，则(v-u)+(w-u)=(v+w)-2u为对应的齐,次线性方程组的解．而r(A)=3, 则齐次线性方,程组的基础解系只有一个解向量．计算,(v+w)-2u＝-(2,3,4,5), 得答案C.,23,,B.,C.,D.,A,答案 B,24,25,分析：根据线性相关性证明的一般方法，设有,再由已知条件判定此方程是否有非零解．,26,,27,证明,,28,,29,,30,,31,32,33,注意(1)本例是对非齐次线性方程组 的解 的结构作进一步的分析和讨论，即非齐次线性方 程组一定存在着 个线性无关的解，题中 (2)的证明表明了它的存在性．,(2)对齐次线性方程组，当 时， 有无穷多组解，其中任一解可由其基础解系线性 表示．,(3)对非齐次线性方程组 ，有时也把 如题中所给的 个解称为 的基础 解系，所不同的是它的线性组合只有当线性组合 系数之和为1时，才是方程组的解．,34,答案 B,思考题,35,答案 C,分析 由条件知， 的列向量组线性无关,36,A. -2 B. -1 C. 2 D. 3,答案 D,分析 由条件知Ax=0 的基础解系含有两个解向量.,37,4.已知三阶非零矩阵B 的每一列都是方程组,的解,则,答案 1,0,分析 由条件知, Ax=0有非零解，则|A|=0.,38,答案 A,39,答案,分析 由条件知,是Ax=b的解向量.,。