《平面问题有限元解法(公式推导讲解)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《平面问题有限元解法(公式推导讲解)（78页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、平面问题的有限单元解法 2017/5/15 有限单元法基本思想 有限单元法的思想是将物体（连续的求解域）离散成有限个且按一定方式相互联结在一起的单元组合，来模拟或逼近原来的物体，从而将一个 连续的无限自由度 问题简化为离散的 有限自由度问题 求解的一种 数值分析法 。物体被离散后，通过对其中各个单元进行单元分析，最终得到对整个物体的分析。 有限单元法的分析步骤如下： 物体离散化 单元特性分析 单元组集，整体分析 求解未知节点的位移 由节点的位移求解各单元的位移和应力 2017/5/15 有限元单元模型中几个重要概念 单元 网格划分中每一个小的块体 节点 确定单元形状、单元之间相互联结的点 节点
2、力 单元上节点处的结构内力 载荷 作用在单元节点上的外力 （集中力、分布力） 约束 限制某些节点的某些自由度 弹性模量 （杨式模量） E 泊松比 （横向变形系数） 密度 单元 单元 载荷 节点 节点力 约束 2017/5/15 1. 研究内容 内容： 弹性体在外力或温度作用下的应力、变形、位移等分布规律。 任务： 解决弹性体的强度、刚度、稳定性问题。 弹性力学的内容及基本假定 2. 研究对象 一般弹性实体结构： 三维弹性固体、板状结构、杆件等 2017/5/15 弹性力学的内容及基本假定 3. 研究方法 由平衡方程、几何方程、物理方程三方面分析 4. 数学理论基础 偏微分方程（高阶，二、三个变
3、量） 数值解法 ：能量法（变分法）、差分法、有限单元法等。 2017/5/15 弹性力学的内容及基本假定 5. 基本假定 （ 1） . 连续性假定 整个物体的体积都被组成物体的介质充满，不留下任何空隙。 作用： 使得 、 、 u 等量表示成坐标的连续函数。 ),( zyx ),( zyxuu )( zyx ,2017/5/15 弹性力学的内容及基本假定 （ 2） . 完全弹性假定 假定物体完全服从虎克（ Hooke）定律，应力与应变间成线性比例关系。 脆性材料 一直到破坏前，都可近似为线弹性的； 塑性材料 比例阶段，可视为线弹性的。 （ 3） . 均匀性假定 假定整个物体是由同一种材料组成的，
4、各部分材料性质相同。 作用： 弹性常数（ E、 ）等 不随位置坐标而变化； 取微元体分析的结果可应用于整个物体。 2017/5/15 弹性力学的内容及基本假定 （ 4） . 各向同性假定 （ 5） . 小变形假定 假定物体内一点的力学性质在所有各个方向都相同。 作用： 弹性常数（ E、 ） 不随坐标方向而变化； 假定位移和形变是微小的，即物体受力后物体内各点位移 远远小于物体的原来的尺寸。 作用： 建立方程时，可略去高阶微量； 可用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。 使求解的方程 线性化 。 2017/5/15 基本概念： 外力、应力、形变、位移。 1. 外力： 体力、面力 (1) 体力 VF 分
5、布在物体 体积 内的力 VV lim0Ff 体力分布集度 （矢量） x y z O i jk xfyfzfkjif zyx fff 单位： N/m3 kN/m3 说明： f 是坐标的连续分布函数 ； 弹性力学中的几个基本概念 p 2017/5/15 (2) 面力 分布在物体表面的力 SFSS lim0Ff 面力分布集度（矢量） x y z O i jkxfyfzf单位： 1N/m2 =1Pa (帕 ) 1MN/m2 = 106Pa = 1MPa (兆帕 ) 说明： 弹性力学中的几个基本概念 kjif zyx fff 是坐标的连续分布函数 ； fp 2017/5/15 2. 应力 (1) 一点应
6、力的概念 A F 内力 (1) 物体内部分子或原子间的相互作用力 ; (2) 由于外力作用引起的相互作用力 . (不考虑 ) P AA lim0Fp截面上 P点的应力 应力矢量 . 的极限方向 F应力分量 n (法线 ) 应力的法向分量 正应力 应力的切向分量 切应力 单位 : MPa (兆帕 ) 应力关于坐标连续分布 弹性力学中的几个基本概念 2017/5/15 (2) 一点的应力状态 通过一点 P 的各个面上应力状况的集合 称为一点的应力状态 x面的应力： xzxyx ,y面的应力： yzyxy ,z面的应力： zyzxz ,弹性力学中的几个基本概念 2017/5/15 用矩阵表示： zz
7、yzxyzyyxxzxyx 其中，只有 6个量独立。 yxxy zyyz 切应力互等定理 xzzx 应力 正负号 的规定： 正应力 拉为正，压为负。 切应力 坐标 正面 上，与坐标正向一致时为正； 坐标 负面 上，与坐标正向相反时为正。 x y z O xyxxzyxyyzzzyzxyxyyzzzyzx弹性力学中的几个基本概念 2017/5/15 3. 形变 形变 物体的形状改变 x y z O （ 1）线段长度的改变 （ 2）两线段间夹角的改变。 P B C A zxy 用正应变 度量 切应变 度量 （切应变 两垂直线段夹角 （直角） 的改变量） 三个方向的正应变： 三个平面内的切应变： z
8、yx ,zxyzxy ,(1) 一点形变的度量 应变的正负： 正应变 ： 伸长时为正，缩短时为负； 切应变 ： 以直角变小时为正，变大时为负； 弹性力学中的几个基本概念 2017/5/15 (2) 一点应变状态 zzyzxyzyyxxzxyx其中 xzzx yxxy zyyz 应变无量纲； 4. 位移 注： 一点的位移 矢量 S 应变分量均为位置坐标的函数 x y z O S w u v P P位移分量： u x方向的位移 分量； v y方向的位移 分量； w z方向的位移 分量。 量纲： m 或 mm 弹性力学中的几个基本概念 2017/5/15 工程力学问题建立 力学模型 的过程中，一般从
9、三方面进行简化： 结构简化 如空间问题向平面问题的简化，向轴对称问题的简化，实体结构向板、壳结构的简化。 受力简化 如：根据圣维南原理，复杂力系简化为等效力系等。 材料简化 根据各向同性、连续、均匀等假设进行简化。 2017/5/15 平面问题的基本理论 任何一个实际的弹性力学问题都是空间问题，但是如果所考察的弹性体具有某种 特殊的形状， 并且承受的是某些 特殊的外力和约束 ，就可以把空间问题简化为近似的 平面问题 。 两种典型的平面问题 平面应力问题 平面应变问题 2017/5/15 平面应力问题 (1) 几何特征 x y y z t b a 一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多。 bta
10、t , 平板 如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等 (2) 受力特征 外力 （体力、面力）和 约束 ，仅 平行于板面作用 ，沿 z 方向不变化。 2017/5/15 x y y z t b a (3) 应力特征 如图选取坐标系，以板的中面为 xy 平面，垂直于中面的任一直线为 z 轴。 由于板面上不受力，有 02 tzz 02 tzzx 02 tzzy因板很薄，且外力沿 z 轴方向不变。 0z0zx可认为 整个薄板的各点 都有： 由切应力互等定理，有 0zy0 yzzy 0 xzzx 结论： 平面应力问题只有三个应力分量： ),( yxxyyxxy ),( yxxx ),( yxyy x
11、y xyxyxyxyyxxy应变分量、位移分量也仅为 x、 y 的函数，与 z 无关。 2017/5/15 平面应变问题 (1) 几何特征 水坝 滚柱 厚壁圆筒 一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸 大得多，且沿长度方向几何形状和尺寸不变化。 近似认为无限长 (2) 外力特征 外力 （体力、面力） 平行于横截面 作用，且 沿长度 z 方向不变化 。 约束 沿长度 z 方向不变化 。 (3) 变形特征 如图建立坐标系：以任一横截面为 xy 面，任一纵线为 z 轴。 设 z方向为无限长，则 vu,yx ,沿 z 方向都不变化， 仅为 x， y 的函数。 任一横截面均可视为对称面 2017/5/15 水
12、坝 任一横截面均可视为对称面，则有 0w所有各点的位移矢量都平行于 x y 平面。 平面位移问题 0z 0 yzzy 0 xzzx ),( yxyy ),( yxxx ),( yxxyyxxy 平面应变问题 注： 平面应变问题中 0z但是， 0z )( yxz 2017/5/15 如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平面应力问题还是平面应变问题？ 平面应力问题 平面应变问题 非平面问题 2017/5/15 三大基本方程 根据 静力学 、 几何学 和 物理学 三方面条件，建立三套方程。 平面问题中，根据微分体的平衡条件，建立 平衡微分方程 ： (1-1) 根据微分线段上形变与位移之间的几何关系
13、，建立 几何方程 ： (1-2) 根据应力与形变之间的物理关系，建立 物理方程 ： (1-3) (1-3) 0yxx xfxy 0y x y yfyx ,x y x yu v v ux y x y 1 1 2( 1 )( ) , ( ) ,x x y y y x x y x yE E E 221 1 2 ( 1 )( ) , ( ) ,11x x y y y x x y x yE E E 2017/5/15 yyy dyy yxyx dyy xx dxx xyyxxC xfyf xyxy dxx 平衡微分方程 从弹性体中取出一个微分体，根据平衡条件导出应力分量与体力分量之间的关系式，也就是平面问题的 平衡微分方程 。 从弹性体中取出一个微小的正平行六面体，它在 x和 y方向的尺寸分别为 dx和 dy，在 z方向的尺寸为一个单位长度。 以 x为投影轴，列出投影的平衡方程： 0xF ( ) 1xx dx dyx 约简以后，两边除以 dxdy，得： 0yxx xfxy
