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1、g园园人李李cb一沥园p余河2水Il述引入:前面两节我们学习向量和向量组的知识时,我们的一个月标悬把向坤和向量组的之间的关系用矩阵的秩去表示.为了研究的方便,我们又引入了向量组的秩的概念.:设有向量组4,如果在4中能选出“个向量a,ao,“.,4,(D向量组4o:au,ao,.,4,线性无关;(2)向量组4中任意/+1个向量都线性相关;那么向量组4称为向量组4的一个极大线性无关向量组,简称为极大无关组.极大无关组所含和量的个数“秘为口量秘A的秧;记作,注意:f1.只含零向量的向量组没有极大无关组,规定它的秩为0.2.向量组的极大无关组一般不是唯一的.吴吴吴吴吴吴吴吴吴吴例如已知x=(0,D,a
2、=(b0),=(LUD7因为a和as以及ao,as线性无关,而auao,ds线性相关,所以a和aues以及,as都是向量组auao,d的最大线性无关组性质1:设有向量组4,如果若向量组:,4o,“4,为向量组A的一个极大无关组,则(D向量组4o:au,ao,.,4,线性无关;()向量组4中任意r+1个向量都线性相关;那么向量组4的任一向量都能由向量组4线性表示.5吴吴吴吴吴吴吴吴吴吴吴吴吴人人人技00-(D向量组4o:al,ao,4,线性无关;()向量组4中任意r+1个向量都线性相关:定理1:设向量组4o:a,ao,4是向量组4的一个部分组,满足(0)向量组4线性无关;绀4的任一向量都能由向量
3、组4线性表示;那么向量组4便是向量组4的一个极大无关组.证明:只要证向量组4中任意7+1个向量线性相关即可-设52,“0是4中任意rH1个向量,由条件(2)知这“+1个向量均能由向量组4线性表示,所以有R(D,D,.p.i)三R(auau,.,a.)=rr+1从而任意“+1个向量5,5,线性相关.因此向量组4是向量组4的一个极大无关组.5吴吴吴吴吴吴吴吴吴口吴人才人日0极大线性无关向量组的等价概念efL:设有向量组4,如果在4中能选出“个向量a1,ao“n满足(D)向量组4o:al,ao,.,线性无关;)向量组4中任意/+1个向量都线性相关;)向量组4巾任意-个向量均可cu.o,.,a线性表示
4、:(2)向量组4与向量组4等价那么向量组4称为向量组4的一个极大线性无关向量组.设A的+例作成的矩阵记为A忡贝腻+】为矩阵A的一部分】-敌RCAERC45=rr+1。W2:向量组u.Q,线性相关口矩阵4=(auau.Q,)的秘矩阵4=(aa.Q)的秩=ms矩阵与向量组的秩的关系Th2:矩阵的秩等于它的列向量组的秩,也等于行向量组的秩.证明:设4,=(ai,ao.a,),其中i为“雕列向量,其中匕12.n设RCAD=r,则矩阵4一定存在一个/砂的子式D.0设所在刊r列构成的矩阵为4,则R(A)=因此D所在的个列向量是线性无关的。又由RC45=h的任意r+1列作成的列向量组都线性相关。因此D,所在
5、的r列是4的列向量组的一个极大线性无关组,所以4的列向量组的秩等于.类似可证矩阵4的行向量组的秩也等于R(4),(D向量组Ao;au,ao,.,4,线性无关;(2)向量组4中任意/+1个向量都线性相关;。注意:1:向量组与其极大无关组等价。88林为线性无入的向呈均能构厂划的个最大兀夭组3:向量组的极大无关组可能不止一个,但极大无关组所含向量的个数是相同的。不妨拿出Qu.,Qs和Bo.,作比较-回为方程组ri+.+xia=0与方程组x+.+x.,=0同解,故,Qs和,具有相同的线性关系。求-个向量组Q,.,的最大无关组的方法D以向量组中各向量为列向量作成一个矩阵4=(ai,.,Q)2)对4进行初
6、等行奕换化成行阶检形矩阵8=(8,.,6,则B的列向量与A的同序号的列向量具有相同的线性关系。因此,只需求出B的极大无关组,便可写出A的极大无关组。设,有,这7列所组成的矩阵为B,则显然有RB,=故v.,线性无关2:设向量组4:i,au的秩为r,则4任意r个线性无关的向量均能构成4的一个最大无关组。下面求B的极大无关组首先确定B的极大无关组所含向量的个数,即B的列向量组的秩.由Th2知,B的列向量组的秩就等于矩阵B的秩,设为r-我们只要在B的列问量里找r个线性无关的即可.取B的非零行的首非零元所在的列向量,设为,B,则它们就是线性无关的。故8.,就是B的列向量组一个最大无关组。固此,a,的最大无关组为ao.,Q。5吴吴吴吴吴吴吴吴吴吴吴吴明吴人
