劳斯-霍尔维茨稳定性判据

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1、第 三 章 控 制 系 统 的 时 域 分 析 法3.2 劳 斯 -霍 尔 维 茨 稳 定 性 判 据稳 定 性 是 控 制 系 统 最 重 要 的 问 题 ， 也 是 对 系 统 最 基 本 的 要 求 。 控 制 系 统 在 实 际 运 行 中 ， 总 会受 到 外 界 和 内 部 一 些 因 素 的 扰 动 ， 例 如 负 载 或 能 源 的 波 动 、 环 境 条 件 的 改 变 、 系 统 参 数 的 变 化 等 。如 果 系 统 不 稳 定 ， 当 它 受 到 扰 动 时 ， 系 统 中 各 物 理 量 就 会 偏 离 其 平 衡 工 作 点 ， 并 随 时 间 推 移 而 发散

2、， 即 使 扰 动 消 失 了 ， 也 不 可 能 恢 复 原 来 的 平 衡 状 态 。 因 此 ， 如 何 分 析 系 统 的 稳 定 性 并 提 出 保 证系 统 稳 定 的 措 施 ， 是 控 制 理 论 的 基 本 任 务 之 一 。 常 用 的 稳 定 性 分 析 方 法 有 ：1. 劳 斯 赫 尔 维 茨 （ Routh Hurwitz） 判 据 ： 这 是 一 种 代 数 判 据 。 它 是 根 据 系 统 特 征 方程 式 来 判 断 特 征 根 在 S 平 面 的 位 置 ， 来 判 断 系 统 的 稳 定 性 .2. 根 轨 迹 法 ： 这 是 一 种 利 用 图 解 来

3、 系 统 特 征 根 的 方 法 。 它 是 以 系 统 开 环 传 递 函 数 的 某 一 参数 为 变 量 化 出 闭 环 系 统 的 特 征 根 在 S 平 面 的 轨 迹 ， 从 而 全 面 了 解 闭 环 系 统 特 征 根 随 该 参 数 的 变化 情 况 。3. 奈 魁 斯 特 （ Nyquist） 判 据 ： 这 是 一 种 在 复 变 函 数 理 论 基 础 上 建 立 起 来 的 方 法 。 它 根 据系 统 的 开 环 频 率 特 性 确 定 闭 环 系 统 的 稳 定 性 ， 同 样 避 免 了 求 解 闭 环 系 统 特 征 根 的 困 难 。 这 一 方 法在 工

4、程 上 是 得 到 了 比 较 广 泛 的 应 用 。4. 李 雅 普 诺 夫 方 法 上 述 几 种 方 法 主 要 适 用 于 线 性 系 统 ， 而 李 雅 普 诺 夫 方 法 不 仅 适 用 于 线性 系 统 ， 也 适 用 于 非 线 性 系 统 。 该 方 法 是 根 据 李 雅 普 诺 夫 函 数 的 特 征 来 决 定 系 统 的 稳 定 性 。一 、 稳 定 性 的 概 念稳 定 性 的 概 念 可 以 通 过 图 3-31 所 示 的 方 法 加 以 说 明 。 考 虑 置 于 水 平 面 上 的 圆 锥 体 ， 其 底部 朝 下 时 ， 我 们 施 加 一 个 很 小 的

5、 外 力 （ 扰 动 ） ， 圆 锥 体 会 稍 微 产 生 倾 斜 ， 外 作 用 力 撤 消 后 ， 经 过若 干 次 摆 动 ， 它 仍 会 返 回 到 原 来 的 状 态 。 而 当 圆 锥 体 尖 部 朝 下 放 置 时 ， 由 于 只 有 一 点 能 使 圆 锥 体保 持 平 衡 ， 所 以 在 受 到 任 何 极 微 小 的 外 力 （ 扰 动 ） 后 ， 它 就 会 倾 倒 ， 如 果 没 有 外 力 作 用 ， 就 再 也不 能 回 到 原 来 的 状 态 。因 此 ， 系 统 的 稳 定 性 定 义 为 ， 系 统 在 受 到 外 作 用 力 后 ， 偏 离 了 最 初 的

6、 工 作 点 ， 而 当 外 作 用 力消 失 后 ， 系 统 能 够 返 回 到 原 来 的 工 作 点 ， 则 称 系 统 是 稳 定 的 。 设 系 统 在 初 始 条 件 为 零 时 ， 在 单 位 理 想 脉 冲 作 用 下 ， 这 时 系 统 的 脉 冲 响 应 为 c(t)。 若t 时 ， 脉 冲 响 应这 时 ， 线 性 系 统 是 稳 定 的 。设 系 统 的 特 征 方 程 D(s)=0 的 根 为 si， 由 于 单 位 脉 冲 传 递 函 数 的 拉 氏 变 换 为 1， 系 统 输出 的 拉 式 变 换 为 ：瞬 态 响 应 项 表 现 为 衰 减 、 临 界 和 发

7、 散 三 种 情 况 之 一 ， 它 是 决 定 系 统 稳 定 性 的 关 键 。 由 于 输 入量 只 影 响 到 稳 态 响 应 ， 并 且 两 者 具 有 相 同 的 特 性 ， 即 如 果 输 入 量 r(t)是 有 界 的 ： | r(t)|0， 则 系 统 稳 定 的 必 要 条 件 是 系 统 特 征 方 程 的 所 有 系 数 均为 正 数 。 证 明 如 下 ：设 式 (3.63)有 n 个 根 ， 其 中 k 个 实 根 -pj(j=1， 2， ， k)， r 对 复 根 - s i jwi (i=1， 2， ， r)， n = k+2r。 则 特 征 方 程 式 可 写

8、 为假 如 所 有 的 根 均 在 左 半 平 面 ， 即 - pj 0 ， i 0 。 所 以 将 各 因 子 项相 乘 展 开 后 ， 式 （ 3.63） 的 所 有 系 数 都 是 正 数 。根 据 这 一 原 则 ， 在 判 别 系 统 的 稳 定 性 时 ， 首 先 检 查 系 统 特 征 方 程 的 系 数 是 否 都 为 正 数 ， 假 如有 任 一 系 数 为 负 数 或 等 于 零 （ 缺 项 ） ， 则 系 统 就 是 不 稳 定 的 。 但 是 ， 假 若 特 征 方 程 的 所 有 系 数 均为 正 数 ， 并 不 能 肯 定 系 统 是 稳 定 的 ， 还 要 做 进

9、 一 步 的 判 别 。 因 为 上 述 所 说 的 原 则 只 是 系 统 稳 定 性的 必 要 条 件 ， 而 不 是 充 分 必 要 条 件 。(二 ) 劳 斯 判 据 这 是 1877 年 由 劳 斯 (Routh)提 出 的 代 数 判 据 。 1. 若 系 统 特 征 方 程 式设 an 0， 各 项 系 数 均 为 正 数 。2. 按 特 征 方 程 的 系 数 列 写 劳 斯 阵 列 表 ：表 中直 至 其 余 bi 项 均 为 零 。按 此 规 律 一 直 计 算 到 n -1 行 为 止 。 在 计 算 过 程 中 ， 为 了 简 化 数 值 运 算 ， 可 将 某 一 行

10、 中 的 各系 数 均 乘 一 个 正 数 ， 不 会 影 响 稳 定 性 结 论 。3. 考 察 阵 列 表 第 一 列 元 素 的 符 号 。 假 若 劳 斯 阵 列 表 中 第 一 列 所 有 元 素 均 为 正 数 ， 则 该 系 统是 稳 定 的 ， 即 特 征 方 程 所 有 的 根 均 位 于 S 平 面 的 左 半 平 面 。 假 若 第 一 列 元 数 有 负 数 ， 则 第 一 列元 素 的 符 号 的 变 化 次 数 等 于 系 统 在 S 平 面 右 半 平 面 上 的 根 的 个 数 。例 3.3 系 统 特 征 方 程 为试 用 劳 斯 判 据 判 别 系 统 的

11、稳 定 性 。解 从 系 统 特 征 方 程 看 出 ， 它 的 所 有 系 数 均 为 正 实 数 ， 满 足 系 统 稳 定 的 必 要 条 件 。 列 写 劳 斯阵 列 表 如 下第 一 列 系 数 均 为 正 实 数 ， 故 系 统 稳 定 。 事 实 上 ， 从 因 式 分 解 可 将 特 征 方 程 写 为其 根 为 -2， -3， ， 均 具 有 负 实 部 ， 所 以 系 统 稳 定 。例 3.3 系 统 特 征 方 程 为 试 用 劳 斯 判 据 判 别 系 统 的 稳 定 性 。解 从 系 统 特 征 方 程 看 出 ， 它 的 所 有 系 数 均 为 正 实 数 ， 满

12、足 系 统 稳 定 的 必 要 条 件 。 列 写 劳 斯阵 列 表 如 下第 一 列 系 数 有 两 次 变 号 （ +1 到 -6， -6 到 +5） ， 故 系 统 不 稳 定 ， 且 有 两 个 正 实 部 的 根 。例 3.4 已 知 系 统 特 征 方 程 式 为解 列 写 劳 斯 阵 列 表劳 斯 阵 列 表 第 一 列 有 负 数 ， 所 以 系 统 是 不 稳 定 的 。 由 于 第 一 列 元 素 的 符 号 改 变 了 两 次(5 11 174)， 所 以 ， 系 统 有 两 个 具 有 正 实 部 的 根 。4. 两 种 特 殊 情 况在 劳 斯 阵 列 表 的 计 算

13、 过 程 中 ， 如 果 出 现 ：(1) 劳 斯 表 中 某 行 的 第 一 列 的 元 素 为 零 ， 其 余 各 列 系 数 不 为 零 （ 或 没 有 其 余 项 ） ， 或 不 全 为零 ， 这 时 可 用 一 个 很 小 的 正 数 e 来 代 替 这 个 零 ， 从 而 使 劳 斯 阵 列 表 可 以 继 续 运 算 下 去 （ 否 则 下一 行 将 出 现 ） 。 第 一 列 零 元 素 的 存 在 （ 其 他 元 素 为 正 ） ， 则 说 明 系 统 特 征 方 程 有 一 对 虚 根 ， 系统 处 干 临 界 状 态 ； 如 果 第 一 列 元 素 存 在 符 号 变 化

14、 ， 则 系 统 不 稳 定 ， 不 稳 定 根 的 个 数 由 符 号 变 化 次数 决 定 。例 3.5 设 系 统 特 征 方 程 为解 劳 斯 阵 列 表 为由 于 e 的 上 下 两 个 系 数 (2 和 2)符 号 相 同 ， 则 说 明 有 一 对 虚 根 存 在 。 上 述 特 征 方 程 可 因 式分 解 为例 3.5 设 系 统 特 征 方 程 为解 劳 斯 阵 列 表 为(2) 若 劳 斯 阵 列 表 中 某 一 行 （ 设 为 第 k 行 ） 的 所 有 系 数 均 为 零 ， 则 说 明 在 根 平 面 内 存 在 一些 大 小 相 等 ， 并 且 关 于 原 点 对

15、 称 的 根 。 在 这 种 情 况 下 可 做 如 下 处 理 ：a. 利 用 第 k 1 行 的 系 数 构 成 辅 助 多 项 式 ， 它 的 次 数 总 是 偶 数 的 ；b. 求 辅 助 多 项 式 对 s 的 导 数 ， 将 其 系 数 代 替 第 k 行 ；c. 继 续 计 算 劳 斯 阵 列 表 ；d. 令 辅 助 多 项 式 等 于 零 可 求 得 关 于 原 点 对 称 的 根 。例 3.6 系 统 特 征 方 程 为解 劳 斯 阵 列 表 为从 上 表 第 一 列 可 以 看 出 ， 各 系 数 均 未 变 号 ， 所 以 没 有 特 征 根 位 于 右 半 平 面 。由

16、 辅 助 多 项 式 ， 求 得 一 对 共 轭 虚 根 为 j4。 例 3.7 系 统 特 征 方 程 式 为解 劳 斯 阵 列 表 如 下 ：劳 斯 阵 列 表 第 一 列 变 号 一 次 ， 故 有 一 个 根 在 右 半 平 面 。 由 辅 助 多 项 式 ：可 得 S1, 2 = ， s3, 4 = j2， 它 们 均 关 于 原 点 对 称 ， 其 中 一 个 根 在 S 平 面 的 右 半 平 面 。(三 ) 劳 斯 判 据 的 应 用应 用 劳 斯 判 据 不 仅 可 以 判 别 系 统 稳 定 性 ， 即 系 统 的 绝 对 稳 定 性 ， 而 且 也 可 检验 系 统 是 否 有 一 定 的 稳 定 裕 量 ， 即 相 对 稳 定 性 。 另 外 劳 斯 判 据 还 可 用 来 分 析 系统 参 数 对 稳 定 性 的 影 响 和 鉴 别 延 滞 系 统 的 稳 定 性 。1. 稳 定 裕 量 的 检 验 如