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1、一、 从对数的运算性质说起 如果 ( 1 ) l o g ( ) l o g ( ) l o g ( ) ;a a aM N M N1( 2) l og ( ) l og ( ) l og ( ) ;a a aM N M N ( 3 ) l o g l o g , ( ) ;naan M M n R（加法） （减法） （数乘） 注意 ： 1.在实际解题过程中以上三式从左向右运算不必考虑 ， 是否非负；但是从右向左运算时必须保证 ， 非负； 2.两端的底数必须相同这就是说利用对数的运算性 质只能解决同底数的对数运算 . M NM N0a ， 1a ， 0M ， 0N ， 则有： 2、利用计算器计
2、算 和 . 二、换底公式 1、利用计算器计算 和 ； lg15 lg2ln15 ln2l g 15 1. 7, ln 1 5 2 .7 ,结果： 1、 2、 说明：第 1题中是两个常用对数，它们的底数都是 10；第 2题中是两个自然对数，它们的底数都是 e.利用科学计算器可以直接计算 常用对数 和 自然对数 . l g 2 0 .3 ;ln 2 0 .7 .问题 1 可否利用计算器求出 的值呢？ 2log 15我们可设 ， 2lo g 1 5 x2 1 5x 对上式两边同取以 10为底的对数可得 10 10l og 2 l og 15x ，l g 2 l g 1 5x l g 2 l g 15
3、x l g 1 5l g 2x ， 2l g 15l og 15 l g 22l g 1 5 l o g 1 5 l g 2x 3.91.从而有 即 即2lg 15log 15lg 2由 抽象推广到一般情况可得重要 的对数转换公式： 换底公式 l ogl og ( 0 1 0)l ogabaNNba b a b N 其 中 ， ， ， ，说明：对数换底公式的证明方法并不唯一，前面对 的求值过程实际上就是一种证明方法，可类似证明对数换底公式，现在请同学们写出证明过程，并思考如何将以 为底 的对数转换为以 为底的对数的比值 . 2log 15aNb 证明 lo g b NxxbN两边取以 为底的对
4、数，得 al og l og .xaabN0b 由 于 ， 所 以 可 得l o g l o gaax b N ，1b 又 由 于 ， 所 以 可 得l ogl ogaaNxb ，即 l ogl og .l ogabaNNb，根据对数的定义，有 设 令 ， l ogl ogl ogabaNNbNa推论 2 1l o gl o gb aa b1l o gl o gm nnmabb a 1lo g nbma1lo g namb1lo g amnblo g an bm推论 1 l og l ogm n aa nbbm三、推论 则 就变形为 注：实际上由换底公式直接可得 推论 2， 请同学们自己推导
5、. l o gl o gl o gmnn amaabba直接利用换底公式 推论 3 l o g l o g l o g l o ga b c ab c d d 证明 l og anbm l o gan bm左边 右边 lglgbalglgcblglgdclglgdaloga d 四、应用 例 1 计算： 9( 1 ) l o g 2 7 ； 8 2 7( 2 ) l o g 9 l o g 3 2例 2 用科学计算器计算下列对数（精确到 0.001）： 2 3 8 5 1 . 0 8 2l o g 4 8 l o g 1 0 ; l o g ; l o g 5 0 ; l o g 2； lg4
6、8lg217 0.356.7lg10lg310.482.1lg= lg80.50.90.56 分析 ：对于实际问题的解答，其基本思路为： 1.分析实际问题； 2.建立数学模型； 3.利用数学方法求解； 4.解答 . 例 3 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的质量 约 为原来的 84%，估计 约 经过多少年，该物质的剩留量是原来的一半（结果保留 1个有效数字） . 0.8 4y 解：设最初的质量为 1，经过 x年，剩留量是 y，则 经过 1年，剩留量是 经过 2年，剩留量是 经过 x年，剩留量是 20.84y 0 .8 4 xy 方法一 ： 利用指数函数的性质可知 在 上是减函数
7、，故可取 =1， 2， 3， 4， 5， 6， .直至对应的 为止，如下表所示： 0 1 2 3 4 5 . 1 0.84 0.71 0.59 0.50 0.42 . 0. 84 0. 5x ，由表可知，当时 ，对应的 , 即约经过 4年该物质的剩留量是原来的一半 . 方法二： lg 0.5lg 0.84x ，利用换底公式得 用科学计算器计算得 3 .9 8x ，即月经过 4年，该物质的剩留量是原来的一半 . 0 .8 4 xy (0 )，0.84 xy xx4x0.5y 0.5y 由题意可得 0 . 8 4l o g 0 . 5x 即54 l g 2 = l g 3mn 例 若 ， ， 求 l o g 1 2 的 值 .5l g 1 2 l o g 1 2l g 5解 ：21mnml g 4 l g 310lg22 l g 2 l g 31 l g 2l g 4 l g 3l g 1 0 l g 2五、 终结 l ogl og ( 0 1 0)l ogabaNNb a b a b N 其 中 ， ， ， ，1.换底公式： 2.推论： 11 l ogl ogb aab（ ）2 l og l ogm n aa nbbm（ ）3 l o g l o g l o g l o ga b c ab c d d （ ）鸣谢马海红 未经允许转载
