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1、基金项目 长江大学精品课程（概率论与数理统计）作者简介 赵天玉（1958- ） ，男，河南辉县人，1981 年大学毕业，硕士，教授，现从事数学教学与研究工作. 第 1 页 (共 4 页)Dirichlet 积分的计算方法赵天玉（长江大学 信息与数学学院，湖北 荆州 434023）摘要 著名的 Dirichlet 积分在物理学等领域有广泛的应用本文以积分变换为研究工具，采用数学物理方法，给出了计算 Dirichlet 积分的六种方法关键词 Dirichlet 积分；Fourier 变换；Laplace 变换；广义函数The Calculation Method of Dirichlet Inte
2、gralZHAO Tian-yu(School of Information and Mathematics, Yangtze University, Jingzhou ,434023, China)Abstract The famous Dirichlet integral is widely used in physics and other fields. In this paper, the integral transform as a research tool, using the methods of mathematical physics, six kinds of cal
3、culation methods for Dirichlet integral is given.Keywords Dirichlet integral; Fourier transform; Laplace transform; Generalized function积分 是著名的 Dirichlet 积分，在光学、电磁学、无线电技术0sin2xd和有阻尼的机械振动等领域有广泛的应用 1因为该积分收敛非绝对收敛，被积函数的原函数不能用初等函数表示，不能用传统的牛顿莱布尼茨公式求出该积分值，所以该积分在数学分析和复变函数教材中作为典型例子来讨论，寻求该积分的种种不同的计算方法一直是人们感兴趣
4、的研究课题文献2-3总结了该积分多种不同的计算方法，但这些方法多数不但比较复杂，需要较高的分析技巧，而且需要较广的数学知识在多年的教学实践中，作者发现用数学物理方法很容易解决这个问题本文首先综述了计算 Dirichlet 积分的传统经典方法，即含参变量积分法和围道积分法，然后以积分变换和广义函数为研究工具，采用数学物理方法，给出了计算 Dirichlet 积分四种新方法1 含参变量积分方法我们知道，含参变量积分（1）0sin()(0)pxFed110 0coscospx pxyxeyd 第 2 页 (共 4 页) 由于 ，积分 收敛，由 Weierstrass M 判别法，含参变量cospxp
5、xeye0pxed积分 在 上一致收敛由于 在 上连续，0pxd,1cospxey0,),1根据积分顺序交换定理 4， 11200() arctnpxFdyddp又由阿贝尔(Abel) 判别法知，积分（1）在 时一致收敛，根据连续性定理 4，在 时连续，故()Fp0000sin1()lim()liarctn2ppxdF2 围道积分方法设 ， 分别是实数轴上 与()izef12,L,Rr线段， 分别是以原点为圆心，以 与,rR,rRC为半径的上半圆周， 是如图 1 所示的积分路径由 Cauchy-Goursat 定理知， ，即()0fzd（2）1 2()()()()RrLLCCfzdfzfzf经
6、化简 ，由小圆弧引理 5， ，12sin()()LLrxfzfzdd 0lim()rCfzdi由 Jordan 引理 5， 在式（2）两边令 ，并整lim0RCf ,R理得： 0sin2xd3 Fourier 变换方法图 1 围道积分路径第 3 页 (共 4 页) 设 ，则它的 Fourier 变换为1,;()0.tft()()jtFftfedsin2当 时，有()Ft1()()()2jtftF，特别取 得： 02sincotd0tsind4 能量积分方法设 在 Fourier 变换下的象函数为 ，则有()ft ()F（3）221()()ftdd式（3）称为 Parseval 等式 6，其中
7、称为 的能量积分.2()ft()ft将上文中 Fourier 变换方法的 和 应用在式（3）中，可以得到ftF又由分部积分法， ，故20sind 20sind00sin2sinud0i2u5 Laplace 变换方法设 ，则它的 Laplace 变换()sinftt为 又 ， ，0stLftfed21()Fs0sinlm1t()arctn2sFds由 Laplace 变换象函数的积分性质 6，有 ，特别iLt()rts取 得： 0ssin2td6 广义函数方法第 4 页 (共 4 页) 单位脉冲函数 也叫狄拉克(Dirac) 函数，简称 函数，它是一个广义函()t数，是弱收敛函数序列的弱极限
8、6，即对于任何一个无穷次可微的函数 ，()ft有（4）sin()lm()0)ttfdfd在式（4）中特别取 ，由 函数的筛选性质知，左边 ，右边()1ft()1td积分中作换元变换 得：u故0sinsin2sinlmlit uddd.0i2u参考文献1 梁昌洪复变函数札记M北京：科学出版社，20112 匡继昌 Dirichlet 积分九种解法的思路分析 J高等数学研究， 2012，15 ( 4) ：62 66.3 张瑰，张梅. 对 Dirichlet 积分的几种简便证明J高等数学研究，2005，8（4）：2829.4 华东师范大学数学系. 数学分析（下册）M.第三版 .北京：高等教育出版社，2001.5 姚端正，梁家宝数学物理方法M第二版.武汉：武汉大学出版社，19976 张元林积分变换M第四版.北京：高等教育出版社，2003
