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1、新泰一中高二竞赛试题数学学科一选择题(每小题5分，共60分)1等比数列的前n项和为，若，则公比A B 2 C 3 D 2已知，则“”是“”的（ ）A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件3已知是等差数列，则该数列的前14项的和（ ）A 52 B 104 C 56 D 1124双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ）A B 1 C D 5已知函数，若对任意，都有成立，则实数x的取值范围为A B C D 6已知等比数列满足，且成等差数列若数列满足（nN*），且，则数列的通项公式（ ）A B C D 7已知抛物线上的点到焦点的距离是,则抛物线的方程为( )A B C
2、D 8若曲线yax在x0处的切线方程是xln 2y10则a()A B 2C ln 2 D ln 9已知点M为椭圆上一点，椭圆的长轴长为，离心率，左、右焦点分别为F1、F2，其中B（3，2），则的最小值为（ ）A B C D 10将直角三角形沿斜边上的高折成的二面角，已知直角边，那么下面说法正确的是（ ）A 平面平面 B 四面体的体积是C 二面角的正切值是 D 与平面所成角的正弦值是11在直角坐标系中，是椭圆的左焦点，分别为左、右顶点，过点作轴的垂线交椭圆于两点，连接交轴于点，连接交于点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为（ ）A B C D 12在正方体中，点是侧面内的一动点，若点到直线与到直线
3、的距离相等，则动点的轨迹所在的曲线是（ ）A 直线 B 圆 C 双曲线 D 抛物线二填空题（每小题5分，共20分）13在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,若，则abc=_.14若抛物线的焦点恰好是双曲线的右焦点，则实数的值为_.15已知函数_.16已知实数且，则的最小值为_三解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分，请写出必要的解题步骤）17设复数.(1)当为何值时,是实数;(2)当为何值时, 是纯虚数.18(1)求与椭圆有公共焦点，并且离心率为的双曲线方程(2)已知斜率为1的直线l过椭圆的右焦点F交椭圆于A、B两点，求弦AB的长19已知全集UR，非空集合（1）当a时，求（2）命
4、题p：，命题q：，若q是p的必要不充分条件，求实数a的取值范围。20在数列中， 。（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；（2）求数列的前项和。21某渔业公司年初用81万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为1万元，以后每年都增加2万元，每年捕鱼收益30万元问第几年开始获利？若干年后，有两种处理方案：方案一：年平均获利最大时，以46万元出售该渔船；方案二：总纯收入获利最大时，以10万元出售该渔船问：哪一种方案合算？请说明理由22如图所示,在四棱锥中, ,，,.() 证明:平面平面；() 若,求二面角的余弦值.新泰一中高二数学学科竞赛参考答案1A 2B 3D 4A 5D 6B 7A 8A 9
5、D 10C 11C12D13 148 151 1617.（1)要使复数z为实数，需满足.解得m2或1.即当m2或1时，z是实数(2)要使复数z为纯虚数，需满足.解得m3.即当m3时，z是纯虚数18(1)由椭圆方程为，知长半轴长，短半轴长，焦距的一半，焦点是，因此双曲线的焦点也是，设双曲线方程为，由题设条件及双曲线的性质，得，解得，故所求双曲线的方程为.(2)设A、B的坐标分别为、由椭圆的方程知，直线l的方程为 将代入，化简整理得，.19(1)当时, 所以(2)又因为q是p的必要不充分条件,所以且,所以,所以20解：（1）因为 所以数列是公差为1，首项为的等差数列，所以。所以数列的通项公式为 （
6、2）令 则 -得 所以 所以21设第n年开始获利，获利为y万元，由题意知，n年共收益30n万元，每年的费用是以1为首项，2为公差的等差数列，故n年的总费用为获利为由即解得，时，即第4年开始获利方案一：n年内年平均获利为由于，当且仅当时取“”号万元即前9年年平均收益最大，此时总收益为万元方案二：总纯收入获利当时，取最大值144，此时总收益为两种方案获利相等，但方案一中，所需的时间短，方案一较合算22.()证明：因为,，所以. 因为,所以, 所以, 因为,所以平面. 又平面,所以平面平面. ()以为原点,建立空间直角坐标系如图所示,则, 所以, 设平面的法向量为,则,即,令, 解得,即, 显然平面的一个法向量为, 所以,所以二面角的余弦值为.
