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1、 毕 业 论 文论文题目 几类生物数学模型的复杂性行为研究系 别 专 业 数学与应用数学 班 级 学 号 学生姓名 指导教师 完成时间 年 月摘要本文考虑了生态学中几个经典数学模型的改进和推广,利用微分方程稳定性理论和数值分析, 研究其动力学行为, 并探讨了系统中参数对其动力学行为的影响, 为解释、预测和控制生态学中的一些现象提供相应的理论依据。具体地，本文做了以下工作:第一章，简介微分方程稳定性理论的基本知识。第二章，借助特征值判别法、 Lyapunov函数和微分不等式，细致地分析和讨论单种群生物模型的优缺点及平衡点的稳定性，获得了单种群生物模型稳定性的充要条件。第三章，运用特征值判别法、
2、Lyapunov函数、微分不等式及计算机数值模拟，精细地分析和讨论两种群竞争模型的优缺点，并对模型进行改进，使得模型与实际更加贴近，最后得出了两种群相互竞争模型稳定性的相关条件。同时在改进过程中，得出了一元四次方程实根个数的判别方法。此外，理论研究结果与两个种群相互竞争模型的SIMLINK仿真数值结果十分吻合。关键词： 生态学； 微分方程； 稳定性； SIMLINK仿真Complex Dynamics in Several Mathematical Models AbstractThis thesis is focus on the improvement and popularization
3、 of several classical mathematic model in the ecology. Researching on its dynamic behaviors by using numerical analysis and theory of differential equation stability. As well as discussing the influence of parameters in system on the dynamic behaviors. All these have provide corresponding theoretica
4、l basis when we interpret ,predict, and control some phenomena in the ecology. Below are what this thesis has done in details：Chapter one , Stability theory for differential equation of the paper are presented.Chapter two, using Eigenvalue method, Lyapunov function and Differential Inequality. We an
5、alyze and discuss the advantages and disadvantages of single population biology model and stability of the equilibrium point, obtaining the sufficient condition of the stability of single population biology model .Chapter three, using Eigenvalue method, Lyapunov function, Differential Inequality and
6、 Computer numerical simulation. We analyze and discuss the advantages and disadvantages of the two population competition model .At the same time improving the model and make it more consistent with the actual, obtaining the related conditions of two populations competition model.In the improvement
7、process, obtaining the number of roots for quartic equation. In addition, our theoretical results are fit to the results of SIMLINK simulation .Key word: Ecology；differential equation；stability；SIMLINK simulation 目录前言1一、 微分方程的稳定性理论简介2（一） 稳定性概念2（二） 特征值判别法2（三） V(x)函数判别法3二、 单种群生物数学模型的稳定性分析4（一） Malthus
8、人口模型4（二） 阻滞 logistic 增长模型6三、 两个种群生物数学模型的改进和稳定性分析10（一） 两种群竞争模型10（二） 改进的两种群竞争模型13参考文献24致谢25前言生物数学是生物学在不同领域中应用数学工具对生命现象进行研究的学科。其一般方法是建立被研究对象的数学模型并对其进行定性和定量研究，主要应用的数学方法有：微分方程、概率论和数理统计、抽象代数、拓扑学、突变理论等，电子计算机的发展使生物数学的研究又有了新的突破。生物数学的内容是多方面的：生物统计、数量遗传、数学生态和数学生物分类学可做为四大分支。生物统计学用统计方法研究生物界的客观现象；数量遗传学用数学方法研究在各种不同
9、情况下全体基因型的变化，研究数量性遗传规律；数学生态学用数学理论和和方法描述生态系统的的行为动态定量关系，建立各种生态模型，模拟动物行为；数学生物分类学使用现代数学方法和工具（特别是电子计算机）对古老的生物分类学进行研究。目前，数学方法几乎渗透到生物学的每个角落，有人预言：生物学将会取代物理学成为使用数学工具最多的部门，21世纪可能是生物数学的黄金时代。而生物数学中很重要的一个分支是种群生态学，种群生态学的研究起源于人口统计学、渔业资源学、和应用动物学，它是以人类、昆虫、动物为主要研究对象，其理论和方法来源于M.Odum,M.Begon和Mortimer（1981），Prece（1981），并
10、成为生态学中最活跃的一个领域。著名的英国社会学家神父Malthus在1998年出版的，人口论中第一次提出人口等比级数增长模型，即著名的Malthus模型。这个模型在短时期内与人口的很吻合，但是随着时间的推移，误差就越大，因为它有一个重要的缺陷：没有考虑环境资源、生活场所、食物等对自然增长率的影响。因为Malthus模型对于预测种群长时间发展的状况不适用，1938年比利时学者P.F.Verhulst首先提出了阻滞logistic增长模型，是用于描述生物种群在有限的空间和资源稀缺的条件下成长的经典模型。克服了Malthus模型的缺点，使模型预测的结果更加接近实际。随着人类对生态学的研究，出现了经典
11、的种群相互竞争模型、种群相互依存模型等等，种群生态学得到迅速的发展，使得人类更加合理的对种群进行保护、开发和利用。一、 微分方程的稳定性理论简介 （一）稳定性概念 考虑微分方程 （1.1） 其中函数对和连续，对满足局部李普希兹条件，设方程（1.1）对初值存在唯一解，而其他解记为。如果对于任意给定的和都存在，使得满足就有对一切成立，则称（1.1）的解是稳定的，否则是不稳定的。(二) 特征值判别法定理1. 对于非线性系统 其中，为常数矩阵，若特征方程没有零根或零实部的根，则非线性系统与线性近似系统的平衡点的稳定性是一致的。对于线性近似系统平衡点稳定性的讨论，其特征方程的根来判定是相当简便的，下面对
12、二维的情景讨论，有如下定理：定理2. 若的两个特征值为实根，且，则0时平衡点不稳定；若有重根，则0时平衡点不稳定；若有共轭复根，则0平衡点不稳定，=0时，平衡点稳定，但不是渐近稳定。（三）函数判别法定义1. 设为定义在闭区域上的连续实函数，满足，其中.若恒有，则称函数V为常正的，若对一切，都有，则称函数V为定正的，若为常正（或定正）的，则称函数V为常负（或定负）。定理3. 对于自治系统 （1.2）其中且在区域内连续可微。（a）若存在定正函数，其通过方程组（1.1）的导数为常负函数，则方程组（1.1）的零解是稳定的。（b）若存在定正函数，其通过方程组（1.1）的导数为定负函数，则方程组（1.1）
13、的零解是渐近稳定的。（c）若存在定正函数，其通过方程组（1.1）的导数为定正函数，则方程组（1.1）的零解是不稳定的。二、单种群生物数学模型的稳定性分析（一）Malthus人口模型1.背景长期以来，人类的繁殖一直是自发的进行着，然而随着科学技术和生产力的飞速发展，人口数量迅速膨胀，环境质量也急剧恶化，人类才猛然醒悟，开始研究人类和自然的关系、人口数量的变化规律，以及如何进行人口控制等问题。这时候，著名的英国社会学家神父Malthus根据百余年的人口统计资料，于1798年提出了著名的人口增长模型，使种群增长模型得了到社会的普遍关注。 2.模型的建立记t的人口为，当考察一个国家或一个较大地区的人口
14、时，是一个很大的整数。为了利用微积分这个数学工具，将视为连续，可微函数，记初始时刻（t=0）的人口为。假设人口增长率为常数,考察时段人口总量的变化，有令得到的微分方程 （2.1）3.模型的求解对方程 分离变量得 （2.2）对方程（2.2）两边积分，得 （2.3）对方程（2.3）两边取指数函数，并带入初始条件，方程（2.1）的解为由方程的解可知人口按指数规律增长。当时有 （2.4）由(2.4）可以看出，无论r多小，只要人口的增长率大于零，其数量最终都将会趋于正无穷。然而任何地区的人口都不是无限增长的，对于种群来说也是如此，由于环境是有限的，大多数种群的指数增长都是短时间的，一般都是发生在早期阶段，密
