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1、湖南省长沙一中2009届高三4月周考试卷理科数学4.12一、选择题1已知= (3，4)，= (6，8)，则向量与（ ）A互相平行B夹角为60C夹角为30D互相垂直2若集合A = x|x 10，B = x|x|2，则AB等于（ ）Ax|x1Bx|x1或x2或x1Cx|x2或x2Dx|x2或x13已知a，b为实数，则2a2b是log2alog2b的（ ）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件4若直线通过点M (cos，sin)，则（ ）Aa2 + b21Ba2 + b21CD5若f (x)是偶函数，且当x0，+)时，f (x) = x 1，则不等式f (x 1)0的解集是
2、（ ）Ax|1x0Bx|x0或1x2Cx|0x2Dx|1x26已知圆(x + 2)2 + y2 = 36的圆心为M，设A为圆上任一点，N (2，0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是（ ） A圆B椭圆C双曲线D抛物线7定义在R上的函数f (x)，满足f (x + y) = f (x) + f (y) + 2xy (x，yR)，f (1) = 2，则f (3) = （ ） A2B3C6D98已知有穷数列an (n = 1，2，6)，满足an1，2，3，10，且当i j (i，j = 1，2，6)时，ai aj若a1a2a3，a4a5a6，则符合条件的数列an的个数是（ ） AB
3、CD二、填空题（每小题5分，共35分）9若双曲线的离心率为2，两焦点坐标为(2，0)，(2，0)，则此双曲线的方程为 10若A、B两点在半径为2的球面上，且以线段AB为直径的小圆周长为2，则此球的表面积为 ，A、B两点间的球面距离为 11= 12在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c若()cosA = a cosC，则sinA = 13在数列an中，a1 = 2，an + 1 = an + ln (1 + )，则an = 14设A = 2，4)，B = x|x2 ax 40，若BA，则实数a的取值范围是 15设F为抛物线y2 = 2x 1的焦点，Q (a，2)为直线y = 2上一点，
4、若抛物线上有且仅有一点P满足|PF| = |PQ|，则a的值为 三、解答题（16题12分，17题12分，18题12分，19题13分，20题13分）16在甲、乙两个批次的某产品中，分别抽出3件进行质量检验，已知甲、乙批次每件产品检验不合格的概率分别为假设每件产品检验是否合格相互之间没有影响 （1）求至少有2件甲批次产品检验不合格的概率； （2）求甲批次产品检验不合格件数恰好比乙批次产品检验不合格件数多1件的概率17如图，摩天轮的半径为40m，摩天轮的圆心O距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每3min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处5040地面O （1）已知在时刻t (min)时点
5、P距离地面的高度为f (t) = A sin + h，求2006min时点距离地面的高度 （2）求证：不论t为何值，f (t) + f (t + 1) + f (t + 2)是定值CABDP18如图，在底面为正方形的四棱锥PABCD中，面PCD面ABCD，PC = PD = CD = 2 （1）求证：PDBC； （2）求二面角BPDC的大小； （3）求点A到面PBC的距离19已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点A (0，)为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于y = x对称 （1）求双曲线C的方程； （2）若Q是双曲线线C上的任一点，F1，F2为双曲
6、线C的左、右两个焦点，从F1引F1QF2的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程； （3）设直线y = mx + 1与双曲线C的左支交于A、B两点，另一直线l经过M (2，0)及AB的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围20已知函数f (x) = (a，bR，且a0)，f (1) = 0，函数f (x)的图象与x轴有两个交点 （1）求a与b的值； （2）若f (x)的导数为f(x)，数列an满足an = f(an 1) (n2)，且a1 = 3，设bn = log2 (an + 1)，求数字bn的通项公式； （3）在（2）的条件下设g (x) = b1x + b2x2 + + bnxn
7、试求g(1)，并比较g(1)与2f(n)的大小教师用卷一、选择题1已知= (3，4)，= (6，8)，则向量与（ A ）A互相平行B夹角为60C夹角为30D互相垂直2若集合A = x|x 10，B = x|x|2，则AB等于（ D ）Ax|x1Bx|x1或x2或x1Cx|x2或x2Dx|x2或x13已知a，b为实数，则2a2b是log2alog2b的（ B ）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件4若直线通过点M (cos，sin)，则（ D ）Aa2 + b21Ba2 + b21CD5若f (x)是偶函数，且当x0，+)时，f (x) = x 1，则不等式f (x
8、1)0的解集是（ C ）Ax|1x0Bx|x0或1x2Cx|0x2Dx|1x26已知圆(x + 2)2 + y2 = 36的圆心为M，设A为圆上任一点，N (2，0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是（ B ） A圆B椭圆C双曲线D抛物线7定义在R上的函数f (x)，满足f (x + y) = f (x) + f (y) + 2xy (x，yR)，f (1) = 2，则f (3) = （ C ） A2B3C6D98已知有穷数列an (n = 1，2，6)，满足an1，2，3，10，且当i j (i，j = 1，2，6)时，ai aj若a1a2a3，a4a5a6，则符合条件的数
9、列an的个数是（ A ） ABCD二、填空题（每小题5分，共35分）9若双曲线的离心率为2，两焦点坐标为(2，0)，(2，0)，则此双曲线的方程为10若A、B两点在半径为2的球面上，且以线段AB为直径的小圆周长为2，则此球的表面积为，A、B两点间的球面距离为11= 12在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c若()cosA = a cosC，则sinA = 13在数列an中，a1 = 2，an + 1 = an + ln (1 + )，则an = 14设A = 2，4)，B = x|x2 ax 40，若BA，则实数a的取值范围是0，3) 【解析】方程x2 ax 4 = 0的x2 ax
10、4 = 0有两个实根，x1 = ，x2 = ，BA x1 2且x24，即，解得0a315设F为抛物线y2 = 2x 1的焦点，Q (a，2)为直线y = 2上一点，若抛物线上有且仅有一点P满足|PF| = |PQ|，则a的值为 0或1 【解析】求得F (1，0)，P在FQ的中垂线上而FQ的中垂线为l：y = ，由已知l与抛物线只有1个交点由 知：当a = 1时，显然，只有一个交点当a1时，把代入并整理得(1 a) y2 4y + a2 a + 4 = 0，综上知：a = 0或a = 1三、解答题（16题12分，17题12分，18题12分，19题13分，20题13分）16在甲、乙两个批次的某产品
11、中，分别抽出3件进行质量检验，已知甲、乙批次每件产品检验不合格的概率分别为假设每件产品检验是否合格相互之间没有影响 （1）求至少有2件甲批次产品检验不合格的概率； （2）求甲批次产品检验不合格件数恰好比乙批次产品检验不合格件数多1件的概率 【解析】（1）设“至少有2件甲批次产品检验不合格”为事件A，则P (A) = + （2）设“甲批次产品检验不合格件数恰好比乙批次产品检验不合格件数多1件”为事件B 则B中包括下面三个互斥事件：“3件甲都不合格且2件乙不合格”；“2件甲不合格且1件乙不合格”；“1件甲不合格且乙都合格；P (B) = + = 17如图，摩天轮的半径为40m，摩天轮的圆心O距地面
12、的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每3min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处5040地面O （1）已知在时刻t (min)时点P距离地面的高度为f (t) = A sin + h，求2006min时点距离地面的高度 （2）求证：不论t为何值，f (t) + f (t + 1) + f (t + 2)是定值 【解析】（1）2008 = 3668 + 2 第2006min时点P所在位置与第2min时点P所在的位置相同，即从起点转过圈，其高度为70m （2）由（1）知：A = 40， f (t) = 40sin+ 50 = 50 40cos (t0) f (t) + f (t + 1) + f (t + 2) = 150 40cos 40cos 40cos= 150 40cos+ 402 cos(定值)CABDP18如图，在底面为正方形的四棱锥PABCD中，面PCD面ABCD，PC = PD = CD = 2 （1）求证：PDBC； （2）求二面角BPDC的大小； （3）求点A到面PBC的距离【解析】（1）面PCD面ABCD，且交线为CD，BCCDBCCD BC面PCD，BC面PCD （2
