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1、第 2 讲 平面向量的基本定理及向量坐标运算一、选择题1已知平面向量 a( x,1)， b( x， x2)，则向量 a b()A平行于 x 轴B平行于第一、三象限的角平分线C平行于 y 轴D平行于第二、四象限的角平分线解析由题意得 a b( x x,1 x2)(0,1 x2)，易知 a b 平行于 y 轴答案C2已知平面向量 a(1,2)， b(2， m)，且 a b，则 2a3 b()A(2，4) B(3，6)C(4，8) D(5，10)解析由 a(1,2)， b(2， m)，且 a b，得 1m2(2)m4，从而 b(2，4)，那么 2a3 b2(1,2)3(2，4)(4，8)答案C3设向
2、量 a(1，3) ，b(2,4) ，c(1，2)，若表示向量4a,4b2c,2( ac )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量 d 为()A(2,6) B(2,6)C(2，6) D(2，6)解析设 d(x ，y)，由题意知 4a(4，12)，4b2c (6,20) ，2(ac)(4，2)，又 4a4b2c2(ac)d0，解得 x2， y6，所以d( 2， 6)故选 D.答案D4 已知向量 a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)若 为实数，(ab)c，则 ()A. B. C1 D214 12解析依题意得 ab (1，2)，由(a b)c，得(1 )4320， .12答案B5. 若向量
3、A=（1,2） ， BC=（3,4） ，则 AC=( )A （4,6） B (-4，-6) C (-2，-2) D (2,2)解析 因为= += ,所以选 A.(46)答案 A6若 ， 是一组基底，向量 xy (x，yR) ，则称(x ，y)为向量 在基底， 下的坐标，现已知向量 a 在基底 p(1，1)，q(2,1)下的坐标为(2,2) ，则 a 在另一组基底 m(1,1) ，n (1,2)下的坐标为 ()A(2,0) B(0，2)C(2,0) D(0,2)解析a 在基底 p，q 下的坐 标为( 2,2)，即 a2p2q(2,4) ，令 axmyn( x y，x2y)，Error!即Erro
4、r!a 在基底 m，n 下的坐标为(0,2)答案D二、填空题7若三点 A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab0)共线，则 的值为_1a 1b解析 (a2，2)， (2， b2) ，依 题意，有(a2)(b2)40，AB AC 即 ab2a2b0，所以 .1a 1b 12答案128设向量 a， b 满足| a|2 ， b(2,1)，且 a 与 b 的方向相反，则 a 的坐标5为_解析设 a b( 0)，则| a| |b|，| | ，|a|b|又| b| ，| a|2 .5 5| |2， 2. a b2(2,1)(4，2)答案(4，2)9设 (1，2)， (a，1)， (b,0)，a0，b
5、0，O 为坐标原点，OA OB OC 若 A，B ，C 三点共线，则 的最小值为_1a 2b解析 (a 1,1)， ( b1,2)AB OB OA AC OC OA A，B，C 三点共线， .AB AC 2(a1) ( b1)0，2ab1. (2ab)1a 2b (1a 2b)4 42 8.ba 4ab ba4ab当且仅当 ，即 a ，b 时取等号ba 4ab 14 12 的最小值是 8.1a 2b答案810在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 ABCD 的边 AB DC， AD BC.已知点A(2,0)， B(6,8)， C(8,6)，则 D 点的坐标为_解析由条件中的四边形 ABCD 的对
6、边分别平行，可以判断该四边形 ABCD 是平行四边形设 D(x， y)，则有 ，即(6,8)(2,0)(8,6)( x， y)，AB DC 解得( x， y)(0，2)答案(0，2)三、解答题11已知点 A(1,2)， B(2,8)以及 ， ，求点 C， D 的坐标和AC 13AB DA 13BA 的坐标CD 解析设点 C， D 的坐标分别为( x1， y1)、( x2， y2)，由题意得 ( x11， y12)， (3,6)，AC AB (1 x2,2 y2)， (3，6)DA BA 因为 ， ，所以有AC 13AB DA 13BA Error!和Error!解得Error!和 Error!
7、所以点 C， D 的坐标分别是(0,4)、(2,0)，从而 (2，4)CD 12已知 a(1,2) ，b(3,2) ，当 k 为何值时，kab 与 a3b 平行？平行时它们是同向还是反向？解法一k abk (1,2)(3,2)(k 3,2k2)，a3b(1,2) 3(3,2) (10，4)，当 kab 与 a3b 平行时，存在唯一实数 使 kab(a3b)，由(k 3,2k2) (10，4)得，Error!解得 k ，13当 k 时， kab 与 a3b 平行，13这时 kab ab (a3b) 13 13 0，kab 与 a3b 反向13法二由法一知 kab (k3,2k2)，a3b(10
8、，4) ，k ab 与 a3b 平行(k3)( 4)10(2k2)0，解得 k ，13此时 kab (a3b)( 13 3， 23 2) 13当 k 时， kab 与 a3b 平行，并且反向1313在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量 a(2,1)，A (1,0)，B(cos ，t)，(1)若 a ，且| | | |，求向量 的坐标；AB AB 5OA OB (2)若 a ，求 ycos 2cos t 2 的最小值AB 解(1) (cos 1，t)，AB 又 a ，2tcos 10.AB cos 12t.又| | | |，(cos 1) 2t 25.AB 5OA 由得，5t 25，t
9、21.t1.当 t1 时，cos 3(舍去 )，当 t1 时，cos 1，B(1， 1)， (1，1)OB (2)由(1)可知 t ，cos 12ycos 2 cos cos2 cos cos 124 54 32 14 2 ，54(cos2 65cos ) 14 54(cos 35) 15当 cos 时，y min .35 1514已知 O(0,0)， A(1,2)， B(4,5)及 t ，求OP OA AB (1)t 为何值时， P 在 x 轴上？ P 在 y 轴上？ P 在第二象限？(2)四边形 OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的 t 值；若不能，请说明理由解(1) t (13 t,23 t)若 P 在 x 轴上，则 23 t0， t OP OA AB ；若 P 在 y 轴上，只需 13 t0， t ；若 P 在第二象限，则23 13Error! t .23 13(2)因为 (1,2)， (33 t,33 t)若 OABP 为平行四边形，则OA PB ，Error! 无解所以四边形 OABP 不能成为平行四边形OA PB
