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1、第 31 届全国部分地区大学生物理竞赛试卷与解答2014.12.07111. 将地球半径R 、自转周期T 、地面重力加速度g 取为已知量，则人造地球同步卫星的轨道半径= gT 2(4p 2R) 3 R ，轨道速度相对第一宇宙速度的比值= 4p 2R(T 2g ) 6 。 2. 如图所示，水平桌面上静放着质量为M ，内半径为R 的半球面形薄瓷碗，碗的底mR座与桌面间无摩擦。将质量为m 的小滑块在图示的碗边位置从静止释放，随后将会无摩擦地沿碗的内表面滑下。小滑块到达最低位置时， 它相对桌面的速度大小为2MgR(M + m) ，它对碗底的正压力大小为3M + 2m mg 。M 3. 如图所示，长l
2、的轻细杆两端连接质量相同的小球A、B ，开始时细杆处于竖直方位，Av0v0下端 B 球距水平地面高度记为 h 。某时刻让 B 球具有水平朝右初速度 r （ 其大小lr2v0v0 0 时刻x = vtM = M0 + m0-k xv牵引力F = a v + b Mg = a v + b g M0 + m0- k x v（5 分）x = 0 到x = vt = v m0 ，总功 eekW = xe Fdx =xe a v + b g M+ m - k x dx2 00 00v = av + b g M+ m0 m0v （6 分）0 2 k所求为W = W +W = 1 m u2 + av + b
3、g M + m0 m0v （2 分）12 200 2 k12.（15 分）如图所示，半径为R 的长直圆柱形几何空间区域内，有轴向的匀强磁场，磁感A应强度B 的方向垂直于图平面朝里，其大小随t 变化，且有dB dt = k ，式中k 为正的常量。圆柱形空间区域外没有磁场。在圆柱形空间区域内的一个正截面内，有一个用金属丝连接而成的圆内接正三角形ABCA，其中AB 段、BC 段和CA 段的电阻分别记为r1 、r2 和r3 。（1）试求AB 段从A到B 方向的电动势e AB ；（2）设r1 = r2 = r3 ，试求AB 段从A到B 的电压UAB ；（3）改设r1 = r0 、r2 = 2r0 、r3
4、 = 3r0 ，再求AB 段从A到B 的电压U A B 。解：（1）回路电动势为e= - dF = - d -B 1 3 R 3R = 3 3 kR2ABCAdtdt 2 24因对称，即得e AB= 1 e3ABCA =3 kR24（6 分）（2）回路电压因对称，有UABCA = 0UAB = UBC = UCA UAB = 0（3 分）（3）将r1 = r0 、r2 = 2r0 、r3 = 3r0 代入电流公式：I = I= e(r + r + r ) = 3 3 kR2 (6r )ABCAABCA12340得I =3kR2(8r0 )继而得U A B = -e AB+ Ir1 = -3 k
5、R28（6 分）13.（15 分）12理想气体多方过程可表述为 pV n = k （常量）或TV n-1 = k （常量）（1）已知k1 和气体的摩尔数n ，求k2 ；（2）已知多方指数n 和气体的等体摩尔热容量CmV ，试依据过程摩尔热容量定义式Cm = dQ(n dT ) ，导出该多方过程的摩尔热容量Cm 。解：（1）pV n = k1pV =n RT TV n-1 = k(n R) k2 = k1(n R)（5 分）1（2） C = dQ (n dT ) = ( pdV +nCdT ) (n dT ) =pdV +C1 2mmVn dTmV2V n-1 = kT (n -1)V n-2d
6、V = -k dT T 2(V n = kp (n -1) k1dV1)pV 2= -k dT T 2 = -k dT(n RT 2 )21( pV =n RT ) (n -1) dV = -dT T = -n RdTV( pV ) pdV = -n RdT(n -1)C = C- R（10 分） mmV n -1另解：2TV n-1 = k V n-1dT + (n -1)V n-2TdV = 0 dV = - 1 V = -1 n R dTn -1 Tn -1 P代入1 式： C = C+ pdV = C- R mmV14.（15 分）n dTmV n -1y如图所示，在O - xy 平面
7、上有场强为E 平行于x 轴方向的匀强电场，还E有垂直于O - xy 平面朝里的磁场，磁感应强度B 的值仅随x 变化。在 x = a 、v0y = a 处，质量为m 、电量q 0 的质点P具有速度r ，使得P的而后运动x轨道恰好是在O - xy 平面上以O 为圆心的圆周。已知P 在运动过程中速度达最小值（不为零）时，所受磁场力为零。（过程中不考虑重力的影响。）Er（1）试求速度v0 的方向和大小；（2）将圆半径记为R ，试在R x -R 范围内确定B 随x 变化的函数。解：（1） P的初始位置到O 的距离即为圆半径，故有y磁场力不作功，电场力作功， P的动能最小（即速度最小）位置必是E在题解图 1 中x = -R 、 y = 0x处。P在该位置处不受磁场力，表明E题解图 1B( x = -R) = 0P作圆周运动所需向心力即为电场力，可得mv2 min = qE v2= qER m ， R =2aRminP在初始x = a 、 y = a 处时的动能为1 mv2 = 1 mv2 + qE (R + a) ， R =2a 20 2min(2qE (+1)av = v故有220min即得+= qE 3m+ 2)a mr方向：如题解图 1 所
