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1、2003年考研数学（三）真题一、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）设 其导函数在x=0处连续，则的取值范围是_.（2）已知曲线与x轴相切，则可以通过a表示为_.（3）设a0，而D表示全平面，则=_.（4）设n维向量；E为n阶单位矩阵，矩阵 ， ，其中A的逆矩阵为B，则a=_.（5）设随机变量X 和Y的相关系数为0.9, 若，则Y与Z的相关系数为_.（6）设总体X服从参数为2的指数分布，为来自总体X的简单随机样本，则当时，依概率收敛于_.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填
2、在题后的括号内）（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且存在，则函数(A) 在x=0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x=0.(C) 在x=0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x=0. （2）设可微函数f(x,y)在点取得极小值，则下列结论正确的是 (A) 在处的导数等于零. （B）在处的导数大于零.(C) 在处的导数小于零. (D) 在处的导数不存在. （3）设，则下列命题正确的是(A) 若条件收敛，则与都收敛.(B) 若绝对收敛，则与都收敛.(C) 若条件收敛，则与敛散性都不定.(D) 若绝对收敛，则与敛散性都不定. （4）设三阶矩阵，若A的伴随矩阵的秩为1，则必有(A) a=b或
3、a+2b=0. (B) a=b或a+2b0.(C) ab且a+2b=0. (D) ab且a+2b0. （5）设均为n维向量，下列结论不正确的是(A) 若对于任意一组不全为零的数，都有，则线性无关.(B) 若线性相关，则对于任意一组不全为零的数，都有(C) 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D) 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. （6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：=掷第一次出现正面，=掷第二次出现正面，=正、反面各出现一次，=正面出现两次，则事件(A) 相互独立. (B) 相互独立. (C) 两两独立. (D) 两两独立. 三、（本题满分8分）设 试补充定义f(1)
4、使得f(x)在上连续.四 、（本题满分8分）设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足，又,求五、（本题满分8分）计算二重积分 其中积分区域D=六、（本题满分9分）求幂级数的和函数f(x)及其极值.七、（本题满分9分）设F(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在内满足以下条件： ，且f(0)=0, (1) 求F(x)所满足的一阶微分方程；(2) 求出F(x)的表达式.八、（本题满分8分）设函数f(x)在0，3上连续，在（0，3）内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在，使九、（本题满分13分）已知齐次线性方程组 其中 试讨论和b满足何种关系时，(1) 方程组仅有零解；(2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.十、（本题满分13分）设二次型，中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12.(1) 求a,b的值；(2) 利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.十一、（本题满分13分）设随机变量X的概率密度为 F(x)是X的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.十二、（本题满分13分）设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为 ，而Y的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y的概率密度g(u).- 4 -
